Как найти центр в окружности: Как найти центр окружности без измерительных инструментов?

Как найти центр окружности без измерительных инструментов?

Как найти центр окружности без измерительных инструментов?

Действительно как? Вот у вас есть круг. И есть необходимость или желание узнать, где у него центр.
Самое простое- это вписать в круг квадрат или прямоугольник.
Затем провести диагонали соединяющие противоположные углы. Место пересечения этих линий и будет центром окружности, а каждая из этих линий будет являться ее диаметром. Место пересечения диаметров окружности всегда будет является ее центром.

Из этого так же следует, что гипотенуза вписанного в окружность прямоугольного треугольника так же всегда является ее диаметром. И здесь, чтобы найти центр окружности достаточно найти ее середину. НУ а серелдина находится легко: из вершины треуголника (прямого угла) к основаниею (гипотенуже) проведится перпендикулярная линия. В прямоуголном треуголнике она делит основани ровно пополам. А так как гипоетнуза- это диаметр окружности, то поделеная пополам, дает два радиуса и соотвевенно центр окружности.

Но центр можно найти не только с помощью прямоугольного треугольника. Можно вписать в окружность равносторонний или равнобедренный треугольник. С первым вообще все просто, как и с прямоугольником. У него все стороны равны и  не составит труда вписать его в окружность. Здесь достаточно провести две медианы (они же высоты) из любых углов. Место их пересечения и будет центр окружности. Если их продолжить до линии окружности, то получим два пересекающихся диаметра.

Для нахождения центра круга при помощи равнобедренного треугольника необходимо произвести следующие действия. Вписать в окружность два любых равнобедренных треугольника. Форма треугольников и длина их бедер не имеют значения. После из вершин этих треугольников необходимо провести к основанию треугольника  медиану/высоту. И продолжить ее до соприкосновения с окружностью. Место пересечения этих медиан/высот  и будет центром круга. А они, как уже вы догадались, будут являться его диаметрами.

Как нетрудно увидеть, если чуть-чуть подумать, то можно вообще не чертить никаких фигур. Надо просто отложить внутри окружности две любых линии (хорды), не параллельных друг другу. Провести перпендикулярные линии через середины этих хорд к противоположной точке на окружности. И снова пересечение этих двух будет являться центром.

Так же центр окружности можно найти с помощью вписанной в круг трапеции. Используя трапеции не сложно начертить прямоугольник или прямоугольный треугольник. А уже имея их- найти центр.

Но как начертить трапецию, треугольник или даже квадрат, не имея линейки с разметкой и транспортира? Как получить прямой угол? Ведь не все люди обладают точным глазомером и твердостью руки.

Для этого достаточно иметь под рукой веревку, полоску бумаги, да просто прямую палку. С помощью любого из этих подручных средств можно отложить на окружности линию (хорду). Далее, имея постоянную длинную отрезка, соединяя любые четыре точки на окружности, можно легко получить квадрат или раностороний треугольник, соединив три точки. Ну а для верности, чтобы получить прямой угол можно применить лист бумаги, коробок спичек, симкарту, стол- любые предметы которые имеют прямой угол.

Осталось добавить, что выше перечисленные способы справедливы и в том случае, если окружность вписана в квадрат или равнобедренный треугольник или проведены касательные к окружности.

Tags: геометрия

Как найти центр круга

При изготовлении или обработке деталей из древесины в некоторых случаях требуется определить, где находится их геометрический центр. Если деталь имеет квадратную или прямоугольную форму, то сделать это не представляет никакого труда. Достаточно соединить противоположные углы диагоналями, которые при этом пересекутся точно в центре нашей фигуры.
Для изделий, имеющих форму круга, такое решение не подойдет, поскольку у них нет углов, а значит и диагоналей. В этом случае необходим какой-то другой подход, основанный на иных принципах.

И они существуют, причем в многочисленных вариациях. Одни из них достаточно сложные и требуют нескольких инструментов, другие – легкие в реализации и для их осуществления не нужен целый набор приспособлений.
Сейчас мы рассмотрим один из самых простых способов нахождения центра круга с помощью только обычной линейки и карандаша.

Последовательность нахождения центра круга:

1. Для начала нам надо вспомнить, что хордой называют прямую линию, соединяющую две точки окружности, и не проходящую через центр круга. Воспроизвести ее совсем нетрудно: необходимо лишь положить линейку на круг в любом месте так, чтобы она пересекала окружность в двух местах, и провести карандашом прямую линию. Отрезок внутри окружности и будет хордой.
В принципе можно обойтись одной хордой, но мы для повышения точности установления центра круга нарисуем хотя бы пару, а еще лучше – 3, 4 или 5 разных по длине хорд. Это позволит нам нивелировать погрешности наших построений и точнее справиться с поставленной задачей.

2. Далее, используя ту же линейку, находим середины воспроизведенных нами хорд. Например, если общая длина одной хорды равна 28 см, то ее центр будет находиться в точке, которая отстоит по прямой от места пересечения хорды с окружностью на 14 см.

Определив таким способом центры всех хорд, проводим через них перпендикулярные прямые, используя, например, прямоугольный треугольник.


3. Если мы теперь продолжим эти перпендикулярные к хордам прямые в направление к центру окружности, то они пересекутся примерно в одной точке, которая и будет искомым центром круга.

4. Установив местоположение центра нашего конкретного круга, мы можем использовать этот факт в различных целях. Так, если в эту точку поместить ножку столярного циркуля, то можно начертить идеальную окружность, а затем и вырезать круг, используя соответствующий режущий инструмент и определенную нами точку центра круга.

Как найти центр круга без разметочных инструментов?

  Как найти центр круга без каких либо инструментов?
Легко! Потребуется только карандаш, ножницы и лист бумаги. Не нужна даже линейка!
 Если круг уже готов, а лист бумаги имеет ровные края, то можно обойтись и без ножниц, одним карандашом, но для наглядности будем вырезать и круг, и бумага у нас будет с неровным краем, поэтому воспользуемся ножницами.
    Итак, дано: круг, который нарисовали не по циркулю (там-то сразу центр отмечен иголкой), а путем обведения карандашом какого-то круглого предмета, например, тарелки, блюдца, чашки или какой-то крышки от посуды, упаковки и т.п.

       Возьмем первое, что попалось под руку —  подставку от цветочного горшка, стоящего рядом с компьютером. Там есть, правда, отверстие в центре и можно сразу, взяв иглу или гвоздик, отметить центр. Но мы не будем искать лёгких путей и проигнорируем такую возможность.
     Рисуем на зеленом листе бумаги (взял специально для контраста обложку от тетради) окружность, обведя карандашом нашу подставку.    Вырезаем круг по нарисованной линии. Именно на нём нужно найти центр.
Берем лист бумаги, (подойдет любой, главное, чтобы был подходящим по размеру). В данном случае вполне достаточно тетрадного листочка.  Если круг большой, то можно взять, например, газету большого формата. Принцип всё равно один и тот же: нам будет нужен квадратный лист бумаги, т.е., стороны его должны быть все равны между собой.
  Лист из тетради, как и стандартный лист  писчей бумаги, имеют прямоугольную форму, а не квадратную (газетный лист — аналогично).

 Как сделать его квадратным? — Согнуть с угла на угол так, как показано на фото.
Тот, кто хоть раз в жизни делал бумажный самолетик или какую-то другую игрушку из бумаги, хорошо представляет, как это делается.
    На фото видно, что лист из тетради был вырван неаккуратно, поэтому сгибаем так, чтобы рваные края не задействовать и  после сгибания листа обрезаем их ножницами.  Излишек «прямоугольника» загибаем на противоположную сторону листа и места сгибов хорошенько разглаживаем, чтобы они были хорошо заметны, когда лис снова будет расправлен. Эта линия сгиба и укажет нам диаметр круга, когда мы приложим его так, чтобы края касались двух сторон квадрата. На краях круга делаем отметки карандашом.
Используя подогнутую сторону листа, как линейку (мы договаривались в самом начале, что обходимся без неё)  проводим линию, соединяющую эти метки.
Поворачиваем круг и аналогичным способом намечаем точки для проведения  ещё одного диаметра.
Место пересечения этих линий и будет центром окружности. Для того, чтобы в этом убедиться, мы можем ещё несколько раз повернуть наш круг, каждый раз прикладывая его край к сторонам квадрата и проводя линии через метки сделанные напротив линии сгиба квадрата.

Все они пересекутся в центре окружности, если выполнять работу не спеша и аккуратно.
 Этот принцип можно использовать  в домашней мастерской, когда требуется определить центр какой-либо деревянной заготовки. И для этого легко сделать простейшее самодельное приспособление, которое намного облегчит разметку.

  Есть и совсем простой способ нахождения центра плоской заготовки круглой формы.

Всего-то нужно обвести её по периметру, положив на лист бумаги, затем вырезать по начерченной линии круг, согнуть его вчетверо и центр будет найден. Он находится точно на линии пересечения сгибов.
Остается развернуть листочек, наложить его на заготовку так, чтобы края совпадали в ентре сделать пометку острым предметом, например, шилом.
  

Как найти центр окружности : Ответ к задаче-головоломке |

 Ответ к задаче-головоломке №3: “Как найти центр окружности”

В статье “Задача-головоломка №3: “Как найти центр окружности” было предложено найти центр окружности без использования специальных чертежных инструментов.

Сейчас можно ознакомиться с решением.

Шаг 1.  Возьмите картонный квадрат и положите кончик одного угла на любую точку окружности. Теперь в точках А и В, где стороны квадрата пересекают окружность, сделайте две отметки: (рис.1)

Шаг 2. Используя картонку как линейку, соедините прямой линией точки А и В. Теперь, поместив угол картона в   другой точке окружности, повторите действия первого этапа, отметив точки C  и D (Рис.2)

Шаг 3.  Проведите прямую линию из C и D.

Получили центр окружности . Он будет находится в точке пересечения линий АВ и CD (рис.3)

 

Обосновать это решение можно, опираясь на известный геометрический факт , который изучают в курсе геометрии 8 класса в теме “Вписанные углы”: 

 

В этом видео демонстрация описанного выше способа.

На самом деле способов, как найти центр окружности существует несколько. Вот как, например, предлагают решить данную задачу авторы сайта “Как Просто!” :

1. Самый простой способ нахождения центра окружности — согнуть лист бумаги, на котором она начерчена, следя на просвет, чтобы окружность оказалась сложена точно пополам. Полученная линия сгиба будет одним из диаметров заданной окружности. Затем лист можно согнуть в другом направлении, получив тем самым второй диаметр. Точка их пересечения и будет центром окружности.

Этот способ, конечно же, годится только для случаев, когда окружность изображена на листе бумаги, бумагу можно сгибать, и есть возможность следить за точностью сгиба на просвет.

2. Предположим, что заданная окружность начерчена на твердом материале, или же это круглая деталь, которую нет возможности согнуть. В этом случае для нахождения ее центра вам понадобится линейка.

Диаметр, по определению этого слова — самый длинный из всех отрезков, которые можно провести между двумя точками одной окружности. Середина любого диаметра окружности совпадает с ее центром.

Наложив линейку на заданную окружность, зафиксируйте нулевую отметку в любой точке окружности. Таким образом вы измерите некоторую секущую, то есть отрезок, соединяющий две точки этой окружности. Затем медленно поворачивайте линейку, следя за изменением ширины отрезка. Она будет возрастать, пока секущая не превратится в диаметр, после чего снова начнет уменьшаться. Отметив момент максимума, вы найдете диаметр, а значит, и центр.

 

Как правило, задачи на окружность не ограничиваются тем, что отвечают на вопрос : “Как найти центр окружности“. Чаще бывает, что нужно найти длину окружности или площадь круга.  

Какие использовать для этого формулы и как их запомнить,  смотрите здесь.

Успехов в учебе!

Татьяна Бурмистренко, автор сайта http://repetitor-problem.net

Найти центр и радиус окружности

Если окружность задана уравнением вида

   

найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

Примеры.

Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:

   

   

   

   

   

Решение:

   

a=3, b=7, R²=4.

Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.

   

a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.

   

a=0, b=-3, R²=9.

Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.

   

a=6, b=0, R²=5.

Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.

   

Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.

Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида

   

нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.

Для этого сначала сгруппируем слагаемые

   

затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)

   

Отсюда

   

   

При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

   

При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

При a²+b²-c<0 нет ни одной точки, удовлетворяющей этому уравнению.

Примеры.

Найти координаты центра и радиус окружности:

   

   

   

Решение:

   

Группируем слагаемые

   

Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

   

Аналогично

   

Таким образом,

   

   

   

Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

   

   

   

   

   

Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

   

Разделим обе части уравнения на 3:

   

Далее — аналогично

   

   

   

   

   

Центр этой окружности лежит в точке

   

Как определить радиус дуги или сегмента круга и найти центр

Первый метод определения радиуса дуги или сегмента круга

Изначально это выглядит так:

 

Рисунок 463.1. а) имеющаяся дуга, б) определение длины хорды сегмента и высоты.

Таким образом, когда имеется дуга, мы можем соединить ее концы и получим хорду длиной L. Посредине хорды мы можем провести линию, перпендикулярную хорде и таким образом получим высоту сегмента H. Теперь, зная длину хорды и высоту сегмента, мы можем сначала определить центральный угол α, т.е. угол между радиусами, проведенными из начала и конца сегмента (на рисунке 463.1 не показаны), а затем и радиус окружности.

Решение подобной задачи достаточно подробно рассматривалось в статье «Расчет арочной перемычки», поэтому здесь лишь приведу основные формулы:

tg(a/4) = 2Н/L (278.1.2)

тогда

а/4 = arctg(2H/L)

R = H/(1 — cos(a/2)) (278.1.3)

Как видим, с точки зрения математики никаких проблем с определением радиуса окружности нет. Данный метод позволяет определить значение радиуса дуги с любой возможной точностью. Это главное достоинство данного метода.

А теперь поговорим о недостатках.

Проблема данного метода даже не в том, что требуется помнить формулы из школьного курса геометрии, успешно забытые много лет назад — для того, чтобы напомнить формулы — есть интернет. А вот калькулятор с функцией arctg, arcsin и проч. есть далеко не у каждого пользователя. И хотя эту проблему также успешно позволяет решить интернет, но при этом не следует забывать, что мы решаем достаточно прикладную задачу. Т.е. далеко не всегда нужно определить радиус окружности с точностью до 0.0001 мм, точность 1 мм может быть вполне приемлема.

Кроме того, для того, чтобы найти центр окружности, нужно продлить высоту сегмента и отложить на этой прямой расстояние, равное радиусу. Так как на практике мы имеем дело с не идеальными измерительными приборами, к этому следует прибавить возможную погрешность при разметке, то получается, что чем меньше высота сегмента по отношению к длине хорды, тем больше может набежать погрешность при определении центра дуги.

Опять же не следует забывать о том, что мы рассматриваем не идеальный случай, т.е. это мы так сходу назвали кривую дугой. В действительности это может быть кривая, описываемая достаточно сложной математической зависимостью. А потому найденный таким образом радиус и центр окружности могут и не совпадать с фактическим центром.

В связи с этим я хочу предложить еще один способ определения радиуса окружности, которым сам часто пользуюсь, потому что этим способом определить радиус окружности намного быстрее и проще, хотя точность при этом значительно меньше.

Второй метод определения радиуса дуги (метод последовательных приближений)

Итак продолжим рассмотрение имеющейся ситуации.

Так как нам все равно необходимо найти центр окружности, то для начала мы из точек, соответствующих началу и концу дуги, проведем как минимум две дуги произвольного радиуса. Через пересечение этих дуг будет проходить прямая, на которой и находится центр искомой окружности.

Теперь нужно соединить пересечение дуг с серединой хорды. Впрочем, если мы из указанных точек проведем не по одной дуге, а по две, то данная прямая будет проходить через пересечение этих дуг и тогда искать середину хорды вовсе не обязательно.

Ну а дальше все просто: измеряем расстояние от пересечения дуг до начала (или конца) рассматриваемой дуги, а затем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте сегмента.

Если расстояние от пересечения дуг до начала или конца рассматриваемой дуги больше, чем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте сегмента, то значит центр рассматриваемой дуги находится ниже на прямой, проведенной через пересечение дуг и середину хорды. Если меньше — то искомый центр дуги выше на прямой.

Исходя из этого на прямой принимается следующая точка, предположительно соответствующая центру дуги, и от нее производятся те же измерения. Затем принимается следующая точка и измерения повторяются. С каждой новой точкой разница измерений будет все меньше.

Вот собственно и все. Не смотря на столь пространное и мудреное описание, для определения радиуса дуги таким способом с точностью до 1 мм достаточно 1-2 минут.

Теоретически это выглядит примерно так:

Рисунок 463.2. Определение центра дуги методом последовательных приближений.

А на практике примерно так:

Фотография 463.1. Разметка заготовки сложной формы с разными радиусами.

Тут только добавлю, что иногда приходится находить и чертить несколько радиусов, потому на фотографии так много всего и намешано.

Диаметр окружности круга • как найти ⬅️ формула

Основные понятия 

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости.

Круг — часть плоскости, лежащая внутри окружности, а также сама окружность.

Если говорить проще, окружность — это замкнутая линия, как, например, обруч и велосипедное колесо. Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, как апельсин 🍊 и тарелка.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней.

Как узнать диаметр. Формулы

В данной теме нам предстоит узнать три формулы:

1. Общая формула.

Исходя из основных определений нам известно, что значение диаметра равно двум радиусам: D = 2 × R, где D — диаметр, R — радиус.

2. Если перед нами стоит задача найти диаметр по длине окружности

D = C : π, где C — длина, π — это константа, которая равна отношению длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Чтобы получить правильный ответ, можно поделить столбиком или использовать онлайн-калькулятор.

3. Если есть чертеж окружности

• Начертить внутри круга прямую горизонтальную линию. Ее месторасположение не играет значительной роли.
  

• Отметить точки пересечения прямой и окружности.
  

• Начертить при помощи циркуля две окружности одного радиуса (больше, чем радиус первоначальной окружности), первую — с центром в точке A, вторую — с центром в точке B.
  

• Провести прямую через две точки, в которых произошло пересечение. Отметить точки пересечения полученной прямой с окружностью. Диаметр равен этому отрезку.
  

• Теперь осталось измерить диаметр круга при помощи линейки. Получилось!
  

Эти простые формулы могут пригодиться не только на школьных уроках, но и если вы решите освоить профессию дизайнера интерьера, архитектора или модельера одежды.

Завершение квадрата: уравнения круга

Завершение Квадрат: уравнения круга Техника выполнения квадрат используется, чтобы превратить квадратичный в сумму возведенного в квадрат двучлена и число: ( x а ) 2 + б .Форма центрального радиуса уравнения окружности имеет формат ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2 , с центром в точке ( ч, k ) и радиус « r «. Эта форма уравнения полезна, так как вы можете легко найти центр и радиус. Но уравнения круга часто приводится в общем формате ax 2 + на 2 + cx + dy + e = 0, Когда вам дадут эту общую форму уравнения и попросят найти центр и радиус круга, вам нужно будет «завершить квадрат », чтобы преобразовать уравнение в форму центрального радиуса.Этот урок объясняет, как сделать это преобразование. авторское право Элизабет Стапель 2000-2011 Все права защищены Найти центр и радиус круга, имеющий следующее уравнение: 4 x 2 + 4 y 2 16 x 24 y + 51 = 0. Здесь это уравнение, которое они вам дали. Переместить свободный номер на другую сторону. Группа материал размером x вместе. Группа и -материал вместе. Все равно умножается на квадрат (всегда будет одинаковым число), отделите его от каждого члена. Это это сложный шаг. Вам понадобится место внутри ваших групп, потому что здесь вы добавите член возведения в квадрат. Возьми x — срок коэффициент, умножьте его на половину, возведите в квадрат, а затем добавьте это к обеим сторонам уравнения, как показано. Сделайте то же самое с год -триместр коэффициент.Преобразуйте левую часть в квадратную форму и упростить правую сторону. Читать от ответа из переставленного уравнения. центр находится в ( ч, k ) = ( x, y ) = (2, 3). Радиус r = sqrt ( 1 / 4 ) = 1 / 2 Завершение квадрата до найти центр круга и радиус всегда работает таким образом.Всегда выполняйте шаги в этом порядке, и каждое из ваших упражнений должно работать отлично. (Кроме того, если вы привыкли всегда выполнять упражнения в Таким же образом вы с большей вероятностью запомните процедуру на тестах.) Предупреждение: не интерпретируйте неправильно окончательное уравнение. Помните, что формула круга ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2 .Если вы получите уравнение вроде ( x + 4) 2 + ( y + 5) 2 = 5, Вы должны держать прямо, что ч и к вычитается из в форме центрального радиуса, так что у вас действительно есть ( x (4)) 2 + ( y (5)) 2 = 5. То есть центр находится в точке (4, 5), а не в (4, 5).Будь осторожен с знаки; не просто «зачитывай ответ», не задумываясь. Также помните, что формула гласит: « r 2 », не « r «, поэтому радиус в этом случае равен sqrt (5), не 5. В ходе вышеуказанного процедуры, о единственной другой вещи, которая может быть проблемой, это забыть знак на ступеньке, где вы умножаете на половину. Предупреждение: если вы уроните отрицательный, вы получите неправильный ответ для координат центра, так что будьте осторожны с этим.Не пытайтесь проделать этот шаг в уме: напишите это из! Вот еще один пример о том, как завершение квадрата работает для круговых уравнений: Найти центр и радиус круга по следующему уравнению: 100 x 2 + 100 y 2 100 x + 240 y 56 = 0. Верх | Вернуться к индексу Цитируйте эту статью как: Стапель, Елизавета.«Завершение квадрата: уравнения круга». Пурпурная математика . Доступно по номеру https://www.purplemath.com/modules/sqrcircle.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

Колледж Алгебра Урок 29: Круги Цели обучения После прохождения этого руководства вы сможете: Запишите уравнение круга в стандартной форме, заданной радиус и центр. Запишите уравнение круга в стандартной форме, заданной уравнение написано в общем виде. Определите центр и радиус окружности. учитывая уравнение круга. Изобразите круг. Введение В этом уроке мы рассмотрим круги.Мы обсудим, как написать уравнение в стандартной форме с учетом либо радиуса, либо центр или уравнение, записанное в общем виде. Мы вернемся к идее завершения квадрата, чтобы помочь нам перейти от общей формы к стандарт форма уравнения круга. Если вам нужен обзор завершение площадь, не стесняйтесь перейти к Учебник 17. Квадратные уравнения . Мы также посмотрим, как найти центр и радиус круга, если смотреть на уравнение Это. И что самое интересное, мы также можем построить график этих кругов. я полагаю, ты Лучше займемся этим. Учебник Стандартная форма Уравнение круга ( ч , к ) является центр r — радиус ( x , y ) является любая точка на окружности Все точки ( x , y ) на окружности — фиксированное расстояние (радиус) от центра ( h , k ). Значение h ваш центр — это первое значение вашей упорядоченной пары, а значение k вашего центра — это второе значение вашей упорядоченной пары. Мы можем использовать эту форму для подключения, когда нам нужно придумать уравнение окружности. При написании уравнения круга имейте в виду, что вы ВСЕГДА нужны две части информации: Центр круга. Радиус окружности. Если у вас есть эти две части Информация, вы вставляете значения h и k из вашего центра и значение радиуса ( r ) в стандартную форму уравнения круга. Пример 1: Запишите стандартную форму уравнения круга. с участием center (5, 7) и r = 4. Какие две вещи нам нужны, чтобы написать уравнение круга ???? Если вы сказали — центр и радиус, — вы правы. Похоже, у нас есть вся необходимая информация. Мы готовы к составьте наше уравнение. Какую ценность мы собираемся заменить h на? Если вы сказали 5, вы правы !!! h — это первое число упорядоченной пары центра окружности. Какую ценность мы собираемся заменить k на? Если вы сказали 7, вы правы !!! k — второй номер упорядоченной пары центра окружности. Какую ценность мы собираемся заменить r на? Если вы сказали 4, похлопайте себя по плечу !!! r — радиус окружности. Приведение в стандартную форму получаем: * Вставить 5 на ч , 7 для k и 4 для r * 4 в квадрате равно 16 * Стандартная форма круга с центр (5, 7) и радиус 4 Пример 2: Напишите стандартную форму уравнения круга. с участием центр (-3, -1) и. Какие две вещи нам нужны, чтобы написать уравнение круга ???? Если вы сказали — центр и радиус, — вы правы. Похоже, у нас есть вся необходимая информация. Мы готовы к составьте наше уравнение. Какую ценность мы собираемся заменить h на? Если вы сказали -3, вы правы !!! h — это первое число упорядоченной пары центра окружности. Какую ценность мы собираемся заменить k на? Если вы сказали -1, вы правы !!! k — второй номер упорядоченной пары центра окружности. Какую ценность мы собираемся заменить r на? Если вы сказали квадратный корень из 10, похлопайте себя по плечу !!! r — радиус окружности. Приведение в стандартную форму получаем: * Вставка -3 на ч , -1 для k и квадратный корень из 10 для r * sq. корень из 10 в квадрате 10 * Стандартная форма круга с центр (-3, -1) и радиусом кв.корень 10 Будьте осторожны когда один из ваши значения отрицательны, и вы должны вычесть их, как мы это делали в строке 2. x — (-3) не то же самое, что x — 3 и y — (-1) не то же самое, что y — 1. Пример 3: Напишите стандартную форму уравнения круга. с участием center (0, 0) и r = 10. Какие две вещи нам нужны, чтобы написать уравнение круга ???? Если вы сказали — центр и радиус, — вы правы. Похоже, у нас есть вся необходимая информация. Мы готовы к составьте наше уравнение. Какую ценность мы собираемся заменить h на? Если вы сказали 0, вы правы !!! h — это первое число упорядоченной пары центра окружности. Какую ценность мы собираемся заменить k на? Если вы сказали 0, вы правы !!! k — второй номер упорядоченной пары центра окружности. Какую ценность мы собираемся заменить r на? Если вы сказали 10, похлопайте себя по плечу !!! r — радиус окружности. Приведение в стандартную форму получаем: * Разъем 0 для ч , 0 для k и 10 для r * 10 в квадрате равно 100 * Стандартная форма круга с центр (0, 0) и радиус 10 Обычно, когда у вас есть выражение, где вы находитесь вычитая 0, вы можете упростить его, не записывая — 0.Переход от строки 2 к 3 выше, я упростил выражение x — 0 записав его в эквивалентной форме x, а затем возведя его в квадрат, он становится. Точно так же я написал y — 0 как y, а затем возведя его в квадрат, получилось становится. Общая форма уравнения Круга В поисках центра и Радиус круга по его уравнению Если ваше уравнение имеет стандартную форму, оно будет тебе легче для определения центра и радиуса. Если ваше уравнение находится в общем формы вам нужно будет заполнить квадрат как для членов x , так и для членов y , как если бы они были два отдельных проблемы. Ниже представлен обзор по заполнению квадрата. если ты нужно больше обзор по этой теме, смело переходите к Tutorial 17: Квадратичные уравнения. Шаг 1a: Изготовить уверен, что коэффициенты на условиях и равны к 1. Если коэффициент и уже равен 1, переходите к шагу 1b. Если коэффициент не равен 1, то разделите оба стороны по коэффициенты при квадрате и . Шаг 1b: изолировать условия , x, и y . Другими словами, перепишите его так, чтобы , x, и все члены y находятся на одной стороне, а константа — на стороне Другие боковая сторона. Шаг 1c: Завершено квадрат для x и y . Шаг 1d: Фактор оба PST созданы на шаге 1c в виде биномиального квадрата. Это поместит уравнение круга в стандартное форма, . Шаг 2: Идентификация центр и радиус круга. Это можно сделать, составив уравнение, найденное на шаге 1 с стандартная форма уравнения окружности. Шаг 3: График, если нужно. Этот шаг не является частью поиска центра или радиус. Но в некоторых случаях вам нужно будет построить график своего круга после нахождения те два предмета. Вы можете изобразить свой круг, нанеся свой центр ( h , k ) а затем, используя свой радиус, найдите точки на окружности. Все точки ( x , y ) на круг представляют собой фиксированное расстояние (радиус) от центра ( h , k ). Затем нарисуйте свой круг. Имейте в виду, что когда мы используем буквы h и k для нашего центра, h — это первое значение упорядоченной пары центра. В других слова на графике он соответствует оси x . k — второе значение упорядоченной пары центра. В других слова когда вы строите график, он соответствует оси y . Пример 4: Найдите центр и радиус окружности,, и изобразите его. Уравнение уже в стандартной форме. * Стандартная форма круга * 9 равно 3 в квадрате Убедитесь, что вы осторожный.В оригинальная стандартная форма есть, где x MINUS h и y MINUS k . Итак, h — это число, которое мы вычитание от x и k — это число, которое мы вычитаем из y . Кроме того, правая часть уравнения — r В КВАДРАТАХ. Итак, в строке 2 выше я переписал уравнение чтобы показать, какие числа мы вычитали в левой части в уравнение. На правой стороне уравнение я показал какое число возводилось в квадрат. Это поможет вам понять, как мы получаем центр ( h , k ) и радиус ( r ). Будьте осторожны когда один из ваши значения отрицательны, и вы должны вычесть их, как мы это делали в строке 2. y — (-9) не то же самое, что y — 9. Какое значение равно ч ? Если вы сказали 3, вы правы !!! С 3 — это значение, вычитаемое из x в first (), то есть значение h . Какое значение равно к ? Если вы сказали -9, вы правы !!! С -9 — это значение, вычитаемое из и в второй (), то есть значение k . Какое значение р ? Если вы сказали 3, похлопайте себя по плечу !!! Поскольку 3 — это число, возведенное в квадрат справа от стандартной формы нашего уравнение, то есть значение r . Центр (3, -9) и радиус 3. Шаг 3: График, если нужно. Пример 5: Найдите центр и радиус круга,, и изобразите его. Коэффициенты по условиям и оба уже 1. * Обратное от sub. 11 — доп. 11 * Завершите квадрат для x и y * Убедитесь, что вы добавили 4 и 1 к ОБЕИХ сторон Завершение квадрата x (как показано выше): b — коэффициент 4 x члена, который в данном случае равен 4.Завершите квадрат, взяв 1/2 из b и возводя его в квадрат. Принимая 1/2 из 4 мы получаем 2, а затем возводя в квадрат 2, получаем 4. Завершение квадрата у (как показано выше): b — это коэффициент при члене -2 y , который в данном случае равен -2. Завершите квадрат, взяв 1/2 из b и возводя его в квадрат.Принимая 1/2 -2 мы получаем -1, а затем возводя в квадрат -1, получаем 1. * Фактор каждого PST * Стандартная форма круга * Стандартная форма круга * 16 равно 4 в квадрате Убедитесь, что вы осторожный.В оригинальная стандартная форма есть, где x MINUS h и y MINUS k . Итак, h — это число, которое мы вычитание от x и k — это число, которое мы вычитаем из y . Кроме того, правая часть уравнения — r В КВАДРАТАХ. Итак, в строке 2 выше я переписал уравнение чтобы показать, какие числа мы вычитали в левой части в уравнение. На правой стороне уравнение я показал какое число возводилось в квадрат. Это поможет вам понять, как мы получаем центр ( h , k ) и радиус ( r ). Будьте осторожны когда один из ваши значения отрицательны, и вы должны вычесть их, как мы это делали в строке 2. x — (-2) не то же самое, что x — 2. Какое значение равно ч ? Если вы сказали -2, вы правы !!! С -2 — это значение, вычитаемое из x в первый (), то есть значение ч . Какое значение равно к ? Если вы сказали 1, вы правы !!! С 1 — это значение, вычитаемое из и в second (), то есть значение k . Какое значение р ? Если вы сказали 4, похлопайте себя по плечу !!! Поскольку 4 — это число, возведенное в квадрат справа от стандартной формы нашего уравнение, то есть значение r . Центр (-2, 1) и радиус 4. Шаг 3: График, если нужно. Пример 6: Найдите центр и радиус круга,, и изобразите его. Коэффициенты по условиям и оба уже 1. * Инверсия доп. 8 является суб. 8 * Завершите квадрат для x и y * Убедитесь, что вы добавили 0 и 9 к ОБЕИХ сторон Завершение квадрата x (как показано выше): Обратите внимание, что у нас есть член в квадрате x , но нам не хватает нашего термина x .Если мы находятся отсутствует член, то он считается равным 0. Итак, в этом случае мы подумал бы о нашем b , коэффициент в передний члена x как 0. Принимая 1/2 0 мы получаем 0, а затем возводя в квадрат 0, получаем 0. Завершение квадрата у (как показано выше): b — коэффициент при члене 6 y , который в данном случае равен 6.Завершите квадрат, взяв 1/2 из b и возводя его в квадрат. Принимая 1/2 6 получаем 3, возводя в квадрат 3, получаем 9. * Фактор каждого PST * Стандартная форма круга Обратите внимание, что, поскольку мы только добавляли 0 к члену в квадрате x , мы можем просто записать это как. * Стандартная форма круга * 16 равно 4 в квадрате Убедитесь, что вы осторожный. В оригинальная стандартная форма есть, где x MINUS h и y MINUS k . Итак, h — это число, которое мы вычитание от x и k — это число, которое мы вычитаем из y . Кроме того, правая часть уравнения — r В КВАДРАТАХ. Итак, в строке 2 выше я переписал уравнение чтобы показать, какие числа мы вычитали в левой части в уравнение. На правой стороне уравнение я показал какое число возводилось в квадрат. Это поможет вам понять, как мы получаем центр ( h , k ) и радиус ( r ). Будьте осторожны когда один из ваши значения отрицательны, и вы должны вычесть их, как мы это делали в строке 2. y — (-3) не то же самое, что y — 3. Какое значение равно ч ? Если вы сказали 0, вы правы !!! С из x в первый () означает, что понимается, что 0 — это число существование за вычетом, то есть значение ч . Какое значение равно к ? Если вы сказали -3, вы правы !!! С -3 — это значение, вычитаемое из и в второй (), то есть значение k . Какое значение р ? Если вы сказали 1, похлопайте себя по спине !!! Поскольку 1 число, возведенное в квадрат справа от стандартной формы нашего уравнение, то есть значение r . Центр (0, -3) и радиус 1. Шаг 3: График, если нужно. Практические задачи Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает как и все в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики. Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны решить проблему с . свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа. Практика Задачи 1a — 1b: Напишите стандартную форму уравнение кружок с заданными условиями. Практика Задачи 2a — 2b: Найдите центр и радиус данный круг и изобразите его. Нужна дополнительная помощь по этим темам? Последний раз редактировал Ким Сьюард 26 февраля 2010 г. Авторские права на все содержание (C) 2002 — 2010, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Найдите центр заданного круга

Геометрическая конструкция только с компасом

О чем это?

Проблема

Построить центр данного круга.

Решение

Нам дан круг. Точка G будет его центром. Действуем в несколько этапов:

1. На дуге выберите точку A. С центром A в качестве центра и произвольным радиусом нарисуйте окружность I. который пересекает заданную дугу в двух точках — B и D.
2. Используйте задачу № 1, чтобы построить точку C так, что BC образует диаметр окружности I.
3. Радиусом CD нарисуйте две окружности — одну с центром в точке A, другую в точке C и обозначьте буквой E точку точка их пересечения.
4. Нарисуйте окружность радиуса CD с центром в E. Это пересекает окружность I в точке F.
5. Теперь отрезок BF — это радиус данного круга, тогда как два круга, нарисованные этим радиус и центры в B и A пересекаются в его центре.

Проба

Равнобедренные треугольники ACE и AEF совпадают, поэтому ∠EAF = ACE. Дальше, ∠BAE = ∠ACE + ∠AEC для ∠BAE — внешний угол треугольника ACE. Также ∠BAE = ∠BAF + ∠EAF.Который дает BAF = ∠AEC.

Таким образом, равнобедренные треугольники ABF и ACE подобны, что означает BF / AB = AC / CE или BG / AB = AC / CD. Из последнего следует, что равнобедренные треугольники ABG и ACD также подобны и, следовательно,

∠BAG = ∠ACD = ∠BAD / 2 = ∠DAG

с двумя последними равенствами, вытекающими из того, что

∠BAD = ∠ADC + ∠ACD = 2∠ACD = 2∠BAG.

Так как ∠BAG = ∠DAG, мы заключаем, что равнобедренные треугольники ABG и ADG совпадают и, следовательно, BG = AG = DG.Отсюда следует, что точка G является требуемым центром данной дуги.

Проблемы (Используйте только компас)

1. Умножение сегмента строки на целое число
2. Отражение точки на линии
3. Пересечь круг отрезком прямой
4. Бросить перпендикуляр к линии из точки
5. Обнаружение коллинеарности
6. Завершить параллелограмм
7. Разделить дугу пополам
8. Найдите точки пересечения окружности с отрезком прямой
9. Построить квадрат на заданной стороне
10. Найдите четвертую пропорциональную трех длинам
11. Найдите пересечение двух прямых
12. Разделить отрезок линии на целое количество частей
13. Найти центр заданного круга
14. Разделить заданную линию пополам
15. Mascheroni Строительство регулярного пятиугольника
16. Конструкция только для компаса — хорда, касающаяся внутреннего круга

| Контакты | | Первая страница | | Содержание | | Вверх |

Copyright © 1996-2018 Александр Богомольный

Найдите уравнение окружности, используя центр и радиус — Круги и графики — Высшая математика, редакция

Центр и радиус окружности

Привет, Райан,

Я не получил того же ответа, что и вы, поэтому хочу показать вам процесс с другой проблемой.

Найдите центр и радиус этого круга x ² + y ² — 6x + 12y + 6 = 0

Чтобы увидеть центр и радиус, я хочу написать круг в форме (x — a ) ² + (y — b ) ² = r ² , потому что тогда я знаю, что окружность имеет центр ( a , b ) и радиус r .

А пока посмотрите (x — a ) ² = x ² -2 a x + a ² . В моей задаче термины, содержащие x, равны x ² и — 6x и сравнивая x-члены, ^{— 2 a x и -6x , a должно быть 3. То есть a равно 6/2. . Аналогично (y — b ) 2 = y 2 -2 b y + b 2 и сравнивая -2 b y с 12y, b должно быть -6.Здесь b равно -12/2. Итак, a — это минус половина коэффициента при x, а b — минус половина коэффициента при y. Итак, вот мое решение для}

Найдите центр и радиус этого круга x ² + y ² — 6x + 12y + 6 = 0

x ² + y ² — 6x + 12y + 6 = 0
x ² — 6x + (6/2) ² + y ² + 12y + (-12/2) ² + 6 = (6/2) ² + (-12/2) ² Я добавил a ² и b ² в обе стороны
(x — 3) ² + (y + 6) ² + 6 = 9 + 36
(x — 3) ² + (y + 6) ² = 9 + 36-6 = 39

Следовательно, центр равен (3, -6), а радиус равен √39. 3 6 Решить для? cos (x) = 1/2 7 Решить относительно x sin (x) = — 1/2 8 Преобразование из градусов в радианы 225 9 Решить для? cos (x) = (квадратный корень из 2) / 2 10 Решить относительно x cos (x) = (квадратный корень из 3) / 2 11 Решить относительно x sin (x) = (квадратный корень из 3) / 2 12 График г (x) = 3/4 * корень пятой степени x 13 Найдите центр и радиус х ^ 2 + у ^ 2 = 9 14 Преобразование из градусов в радианы 120 градусов 15 Преобразование из градусов в радианы 180 16 Найдите точное значение желто-коричневый (195) 17 Найдите степень f (x) = 2x ^ 2 (x-1) (x + 2) ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 2 18 Решить для? тангенс (x) = квадратный корень из 3 19 Решить для? sin (x) = (квадратный корень из 2) / 2 20 Найдите центр и радиус х ^ 2 + у ^ 2 = 25 21 Найдите центр и радиус х ^ 2 + у ^ 2 = 4 22 Решить относительно x 2cos (x) -1 = 0 23 Решить относительно x 6x ^ 2 + 12x + 7 = 0 24 Найдите домен х ^ 2 25 Найдите домен е (х) = х ^ 2 26 Преобразование из градусов в радианы 330 градусов 27 Разверните логарифмическое выражение натуральный логарифм от (x ^ 4 (x-4) ^ 2) / (квадратный корень из x ^ 2 + 1) 28 Упростить ((3x ^ 2) ^ 2y ^ 4) / (3y ^ 2) 29 Упростить (csc (x) детская кроватка (x)) / (sec (x)) 30 Решить для? tan (x) = 0 31 Решить относительно x х ^ 4-3x ^ 3-х ^ 2 + 3x = 0 32 Решить относительно x cos (x) = sin (x) 33 Найдите точки пересечения по осям x и y х ^ 2 + у ^ 2 + 6х-6у-46 = 0 34 Решить относительно x квадратный корень из x + 30 = x 35 Упростить детская кроватка (x) коричневый (x) 36 Найдите домен у = х ^ 2 37 Найдите домен квадратный корень из x ^ 2-4 38 Найдите точное значение грех (255) 39 Оценить бревно, база 27 из 36 40 Преобразовать из радианов в градусы 2 пол. 2 + n-72) = 1 / (n + 9)

Круги

Круг в стандартной форме

Окружность Окружность — это набор точек на плоскости, которые лежат на фиксированном расстоянии от данной точки, называемой центром.- это набор точек на плоскости, которые лежат на фиксированном расстоянии, называемом радиусом. Фиксированное расстояние от центра круга до любой точки на окружности., от любой точки, называемой центром. Диаметр — длина отрезка прямой, проходящего через центр окружности, концы которой находятся на окружности. — длина отрезка прямой, проходящего через центр, концы которого лежат на окружности. Кроме того, круг может быть образован пересечением конуса и плоскости, перпендикулярной оси конуса:

В прямоугольной координатной плоскости, где центр окружности с радиусом r находится (h, k), мы имеем

Рассчитайте расстояние между (h, k) и (x, y), используя формулу расстояния,

(х-ч) 2+ (у-к) 2 = г

Квадрат обеих сторон приводит нас к уравнению круга в стандартной форме Уравнение круга, записанное в виде (x − h) 2+ (y − k) 2 = r2, где (h, k) — центр, а r — это радиус.,

(х-ч) 2+ (у-к) 2 = г2

В этой форме центр и радиус очевидны. Например, учитывая уравнение (x − 2) 2+ (y + 5) 2 = 16, мы имеем

(x − h) 2+ (x − k) 2 = r2 ↓↓↓ (x − 2) 2+ [y — (- 5)] 2 = 42

В этом случае центр равен (2, −5) и r = 4. Далее следуют другие примеры:

Уравнение	Центр	Радиус
(x − 3) 2+ (y − 4) 2 = 25	(3,4)	г = 5
(x − 1) 2+ (y + 2) 2 = 7	(1, −2)	г = 7
(x + 4) 2+ (y − 3) 2 = 1	(−4,3)	г = 1
x2 + (y + 6) 2 = 8	(0, −6)	г = 22

График круга полностью определяется его центром и радиусом.

Пример 1

График: (x − 2) 2+ (y + 5) 2 = 16.

Решение:

В этой форме мы видим, что центр равен (2, −5), а радиус r = 4 единицы. От центра отметка указывает на 4 единицы вверх и вниз, а также на 4 единицы влево и вправо.

Затем нарисуйте круг через эти четыре точки.

Ответ:

Как и любой график, мы заинтересованы в поиске перехватов x и y .

Пример 2

Найдите точки пересечения: (x − 2) 2+ (y + 5) 2 = 16.

Решение:

Чтобы найти y -перехват, установите x = 0:

(x − 2) 2+ (y + 5) 2 = 16 (0−2) 2+ (y + 5) 2 = 164 + (y + 5) 2 = 16

Это уравнение можно решить, извлекая квадратные корни.

(y + 5) 2 = 12y + 5 = ± 12y + 5 = ± 23y = −5 ± 23

Следовательно, y -перехваты — это (0, −5−23) и (0, −5 + 23).Чтобы найти x -перехват, установите y = 0:

(x − 2) 2+ (y + 5) 2 = 16 (x − 2) 2+ (0 + 5) 2 = 16 (x − 2) 2 + 25 = 16 (x − 2) 2 = −9x −2 = ± −9x = 2 ± 3i

И поскольку решения сложны, мы заключаем, что реальных перехватов x не существует. Обратите внимание, что это имеет смысл, учитывая график.

Ответ: x -перехватов: нет; y -перехватывание: (0, −5−23) и (0, −5 + 23)

Зная центр и радиус круга, мы можем найти его уравнение.

Пример 3

Изобразите окружность с радиусом r = 3 единицы с центром в точке (−1,0). Приведите его уравнение в стандартной форме и определите точки пересечения.

Решение:

Учитывая, что центр равен (−1,0), а радиус равен r = 3, мы нарисуем график следующим образом:

Замените h , k и r , чтобы найти уравнение в стандартной форме.Поскольку (h, k) = (- 1,0) и r = 3, имеем

(x − h) 2+ (y − k) 2 = r2 [x — (- 1)] 2+ (y − 0) 2 = 32 (x + 1) 2 + y2 = 9

Уравнение круга: (x + 1) 2 + y2 = 9, используйте это, чтобы определить y -перехватывания.

(x + 1) 2 + y2 = 9 Установить x = 0 и решить относительно y. (0 + 1) 2 + y2 = 91 + y2 = 9y2 = 8y = ± 8y = ± 22

Следовательно, y -перехваты — это (0, −22) и (0,22). Чтобы найти алгебраические перехваты x , установите y = 0 и решите относительно x ; это оставлено читателю в качестве упражнения.

Ответ: Уравнение: (x + 1) 2 + y2 = 9; y -перехватывание: (0, −22) и (0,22); x -перехватывание: (−4,0) и (2,0)

Особое значение имеет единичная окружность: окружность с центром в начале координат и радиусом 1; его уравнение: x2 + y2 = 1.,

х2 + у2 = 1

Или,

(х-0) 2+ (у-0) 2 = 12

В этой форме должно быть ясно, что центр равен (0,0), а радиус равен 1 единице.Кроме того, если мы решим относительно y , мы получим две функции:

x2 + y2 = 1y2 = 1 − x2y = ± 1 − x2

Функция, определяемая параметром y = 1 − x2, является верхней половиной круга, а функция, определяемой параметром y = −1 − x2, является нижней половиной единичного круга:

Попробуй! Изобразите и обозначьте точки пересечения: x2 + (y + 2) 2 = 25.

Ответ:

Круг в общей форме

Мы видели, что график круга полностью определяется центром и радиусом, которые можно прочитать из его уравнения в стандартной форме.Однако уравнение не всегда приводится в стандартной форме. Уравнение окружности в общем виде Уравнение окружности записывается в виде x2 + y2 + cx + dy + e = 0. следует:

x2 + y2 + cx + dy + e = 0

Здесь c , d и e — действительные числа. Шаги для построения графика круга с учетом его уравнения в общем виде приведены ниже.

Пример 4

График: x2 + y2 + 6x − 8y + 13 = 0.

Решение:

Начните с переписывания уравнения в стандартной форме.

• Шаг 1: Сгруппируйте члены с одинаковыми переменными и переместите константу вправо. В этом случае вычтите 13 с обеих сторон и сгруппируйте члены, содержащие x , и члены, содержащие y , следующим образом.

  x2 + y2 + 6x − 8y + 13 = 0 (x2 + 6x + ___) + (y2−8y + ___) = — 13

• Шаг 2: Заполните квадрат для каждой группы.Идея состоит в том, чтобы добавить значение, завершающее квадрат, (b2) 2, к обеим сторонам для обеих группировок, а затем разложить на множители. Для членов, включающих x , используйте (62) 2 = 32 = 9, а для членов, включающих y , используйте (−82) 2 = (- 4) 2 = 16.

  (x2 + 6x +9) + (y2−8y + 16) = — 13 + 9 + 16 (x + 3) 2+ (y − 4) 2 = 12

• Шаг 3: Определите центр и радиус из уравнения в стандартной форме. В этом случае центр равен (−3,4), а радиус r = 12 = 23.
• Шаг 4: От центра отметьте радиус по вертикали и горизонтали, а затем нарисуйте круг через эти точки.

Ответ:

Пример 5

Определите центр и радиус: 4×2 + 4y2−8x + 12y − 3 = 0.

Решение:

Мы можем получить общий вид, сначала разделив обе части на 4.

4×2 + 4y2−8x + 12y − 34 = 04×2 + y2−2x + 3y − 34 = 0

Теперь, когда у нас есть общая форма круга, где оба члена второй степени имеют старший коэффициент, равный 1, мы можем использовать шаги для его переписывания в стандартной форме. Начните с добавления 34 к обеим сторонам и сгруппируйте одинаковые переменные.

(x2−2x + ___) + (y2 + 3y + ___) = 34

Затем заполните квадрат для обеих группировок. Используйте (−22) 2 = (- 1) 2 = 1 для первой группировки и (32) 2 = 94 для второй группировки.

(x2−2x +1) + (y2 + 3y + 94) = 34 + 1 + 94 (x − 1) 2+ (y + 32) 2 = 164 (x − 1) 2+ (y + 32) 2 = 4

Ответ: Центр: (1, −32); радиус: r = 2

Итак, чтобы преобразовать стандартную форму в общую, мы умножаем, а для преобразования из общей формы в стандартную форму заполняем квадрат.

Попробуй! График: x2 + y2−10x + 2y + 21 = 0.

Ответ:

Ключевые выводы

• График круга полностью определяется его центром и радиусом.
• Стандартная форма уравнения круга: (x − h) 2+ (y − k) 2 = r2. Центр (h, k) и радиус r единиц.
• Для построения круга отметьте точки r единиц вверх, вниз, влево и вправо от центра. Нарисуйте круг через эти четыре точки.
• Если уравнение круга дано в общем виде x2 + y2 + cx + dy + e = 0, сгруппируйте члены с одинаковыми переменными и заполните квадрат для обеих групп.Это приведет к стандартной форме, из которой мы можем прочитать центр и радиус круга.
• Мы распознаем уравнение круга, если оно квадратично в x и y , где коэффициенты при квадрате членов одинаковы.

Тематические упражнения

Часть A: Круг в стандартной форме

Определите центр и радиус по уравнению окружности в стандартной форме.

Определите стандартную форму уравнения окружности с учетом ее центра и радиуса.

7. Центр (5,7) с радиусом r = 7.

8. Центр (−2,8) с радиусом r = 5.

9. Центр (6, −11) с радиусом r = 2.

10. Центр (−4, −5) с радиусом r = 6.

11. Центр (0, −1) с радиусом r = 25.

12. Центр (0,0) с радиусом r = 310.

График.

Найдите точки перехвата x и y .

Найдите уравнение круга.

33. Окружность с центром (1, −2), проходящим через (3, −4).

34. Окружность с центром (−4, −1), проходящим через (0, −3).

35. Круг, диаметр которого определяется формулами (5,1) и (−1,7).

36. Круг, диаметр которого определяется (−5,7) и (−1, −5).

37. Круг с центром (5, −2) и площадью 9π квадратных единиц.

38. Окружность с центром (−8, −3) и окружностью 12π квадратных единиц.

39. Найдите площадь круга по уравнению (x + 12) 2+ (x − 5) 2 = 7.

40. Найдите длину окружности по уравнению (x + 1) 2+ (y + 5) 2 = 8.

Часть B: Круг в общей форме

Перепишите в стандартной форме и графике.

Дан круг в общем виде, определите точки пересечения.

65. Определите площадь круга, уравнение которого x2 + y2−2x − 6y − 35 = 0.

66. Определите площадь круга, уравнение которого равно 4×2 + 4y2−12x − 8y − 59 = 0.

67. Определите длину окружности по уравнению x2 + y2−5x + 1 = 0.

68. Определите длину окружности по уравнению x2 + y2 + 5x − 2y + 3 = 0.

69. Найдите общий вид уравнения окружности с центром в точке (−3,5), проходящей через (1, −2).

70. Найдите общий вид уравнения окружности с центром в точке (−2, −3), проходящей через (−1,3).

Учитывая график круга, определите его уравнение в общем виде.

Часть C: Обсуждение

75. Является ли центр круга частью графика? Объяснять.

76. Составьте свой круг, напишите его в общем виде и нанесите на график.

77. Объясните, как можно отличить уравнение параболы в общем виде от уравнения окружности в общем виде. Приведите пример.

78. У всех кругов есть перехваты? Какое возможное количество перехватов? Проиллюстрируйте свое объяснение графиками.

ответов

1. Центр: (5, −4); радиус: r = 8

3. Центр: (0, −6); радиус: r = 2

5. Центр: (−1, −1); радиус: r = 7

25. x -перехватов: (1 ± 5,0); y — перехватывает: (0,2 ± 22)

27. x — перехватов: нет; y — перехватывает: (0,3), (0,5)

29. x -перехватов: (± 52,0); y -перехватывание: (0, ± 52)

31. x — перехватов: нет; y -перехватов: нет

41. (х + 2) 2+ (y − 1) 2 = 9;

43. (х + 1) 2+ (у + 6) 2 = 1;

45. х2 + (у + 3) 2 = 4;

47. (x + 4) 2+ (y + 6) 2 = 36;

49. (х-12) 2+ (у + 1) 2 = 1;

51. (x + 2) 2+ (y − 4) 2 = 6;

53. (x − 12) 2+ (y − 1) 2 = 14;

55. (x + 1) 2+ (y − 32) 2 = 2;

57. (х + 32) 2+ (у + 52) 2 = 4;

59. x -перехват: (2,0), (3,0); y -перехватов: нет

61. x -перехват: (0,0); y — перехватывает: (0,0), (0,6)

63. x -перехватывание: (−32,0), (3,0); y -перехват: (0, ± 322)

.