Сочетания примеры: Формулы комбинаторики с примерами. Основные формулы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки

Формулы комбинаторики с примерами. Основные формулы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки

Учитесь решать задачи по комбинаторике? На самом начальном этапе нужно изучить основные формулы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки (смотрите подробнее ниже) и научиться их применять для решения задач.

Как выбрать формулу комбинаторики?

Мы подготовили для вас наглядную схему с примерами решений по каждой формуле комбинаторики:

• алгоритм выбора формулы (сочетания, перестановки, размещения с повторениями и без),
• рекомендации по изучению комбинаторики,
• 6 задач с решениями и комментариями на каждую формулу.

Нужна помощь в решении задач по комбинаторике?

Перестановки

Пусть имеется $n$ различных объектов.
Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно

$$P_n=n!=1\cdot 2\cdot 3 \cdot … \cdot (n-1) \cdot n$$

Символ $n!$ называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от $1$ до $n$. По определению, считают, что $0!=1, 1!=1$.

Пример всех перестановок из $n=3$ объектов (различных фигур) — на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно $P_3=3!=1\cdot 2\cdot 3 =6$, так и получается.

С ростом числа объектов количество перестановок очень быстро растет и изображать их наглядно становится затруднительно. Например, число перестановок из 10 предметов — уже 3628800 (больше 3 миллионов!).

Еще: онлайн калькулятор перестановок.

Размещения

Пусть имеется $n$ различных объектов.
Будем выбирать из них $m$ объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются

размещениями из $n$ объектов по $m$, а их число равно

$$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}=n\cdot (n-1)\cdot .m \cdot P_m.$$

Удобный и бесплатный онлайн калькулятор сочетаний.

Решебник задач по комбинаторике

Изучаем комбинаторику: полезные ссылки

4.2.3. Сочетания

Глава 4. Комбинаторика

4.2.

4.2.3.

Допустим теперь, что нас не интересует порядок, в котором идут выбранные элементы. Например, нужно из десяти человек выбрать троих дежурных. Такая операция называется неупорядоченной выборкой, или сочетанием, в отличие от упорядоченной выборки – размещений.

Символ читается «це из эн по ка».

Формулу для можно получить из следующих соображений.

Из любого набора, содержащего k элементов, можно получить k! перестановок. Поэтому упорядоченных выборок объёма k существует

штук. Значит,

Модель 4.4. Сочетания

Пример 1

Для проведения письменного экзамена нужно составить 3 варианта по 5 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 15 задач на 3 варианта?

Пример 2

Сколькими способами можно разместить 10 различных шаров по 4 ящикам так, чтобы в первом ящике оказалось 2 шара, во втором – 3, в третьем – 3 и в четвёртом снова два?

Для числа сочетаний справедливы некоторые тождества, в частности:

Пример 3

Докажите тождество

С помощью формулы для  получаем:

Запишем в «нулевой» строке число В первой строке напишем значения чисел и каждое из которых тоже равно 1, так, чтобы значение оказалось над промежутком между этими двумя числами. Во второй строке запишем числа и тоже равные 1, а между ними – число Обратим внимание, что число равно сумме двух чисел, стоящих над ним: Продолжим построение, записывая в n-й строке числа от до включительно.

1

Рисунок 4.2.3.1. Треугольник Паскаля

Полученный числовой треугольник называется треугольником Паскаля. Согласно свойству любое число в этом треугольнике равно сумме двух чисел, расположенных над ним в предыдущей строке.

При помощи треугольника Паскаля удобно доказывать различные комбинаторные тождества.

На языке множеств утверждение, доказанное в задаче, выглядит по-другому.

Число подмножеств множества из n элементов равно 2n.

Еще один интересный факт, связанный с треугольником Паскаля, мы приведём здесь без доказательства:

Бином Ньютона

Приведённое тождество называется биномом Ньютона.

 

Как и в случае с размещениями, существует понятие числа сочетаний с повторениями. Рассмотрим его на следующем примере.

Пример 5

В палитре художника 8 различных красок. Художник берет кистью наугад любую из красок и ставит цветное пятно на ватмане. Затем берет следующую кисть, окунает её в любую из красок и делает второе пятно по соседству. Сколько различных комбинаций существует для шести пятен? Порядок пятен на ватмане не важен.

2

Решим задачу следующим образом. Пусть количество пятен первого цвета равно k1, второго цвета – k2, третьего – k3 и так далее. Запишем каждое из этих чисел последовательностью из соответствующего количества единиц, а на границах между числами поставим нули. Так, если у нас первого цвета 1 пятно, второго – 3 пятна, третьего и четвёртого – ни одного, пятого и шестого – по одному пятну, а седьмого и восьмого – снова не одного, то запись будет выглядеть следующим образом: 1011100010100. В этой цепочке содержится m 1 = 6 единиц, m0 – 1 = 8 – 1 = 7 нулей – всего n = m0 + m1 – 1 = 13 цифр. Количество перестановок с повторениями этих цифр равно Именно столько существует различных вариантов раскраски ватмана (без учёта порядка цветных пятен).

Вообще, можно сформулировать следующее правило.7$

 

Итак, получаем число способов составления суточного наряда

Комбинаторика. Размещения, перестановки, сочетания | Математика, которая мне нравится

В комбинаторике изучают вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).

Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами Б. Паскаля и П. Ферма по теории азартных игр. Большой вклад в развитие комбинаторных методов внесли Г.В. Лейбниц, Я. Бернулли и Л. Эйлер.

Французский философ, писатель, математик и физик Блез Паскаль (1623–1662) рано проявил свои выдающиеся математические способности. Круг математических интересов Паскаля был весьма разнообразен. Паскаль доказал одну
из основных теорем проективной геометрии (теорема Паскаля), сконструировал суммирующую машину (арифмометр Паскаля), дал способ вычисления биномиальных коэффициентов (треугольник Паскаля), впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции, сделал существенный шаг в развитии анализа бесконечно малых, сыграл важную роль в зарождении теории вероятности. В гидростатике Паскаль установил ее основной закон (закон Паскаля). “Письма к провинциалу” Паскаля явились шедевром французской классической прозы.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) — немецкий философ, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. В математике наряду с И. Ньютоном разработал дифференциальное и интегральное исчисление. Важный вклад внес в комбинаторику. С его именем, в частности, связаны теоретико-числовые задачи.

Готфрид Вильгельм Лейбниц имел мало внушительную внешность и поэтому производил впечатление довольно невзрачного человека. Однажды в Париже он зашел в книжную лавку в надежде приобрести книгу своего знакомого философа. На вопрос посетителя об этой книге книготорговец, осмотрев его с головы до ног, насмешливо бросил: “Зачем она вам? Неужели вы способны читать такие книги?” Не успел ученый ответить, как в лавку вошел сам автор книги со словами: “Великому Лейбницу привет и уважение!” Продавец никак не мог взять втолк, что перед ним действительно знаменитый Лейбниц, книги которого пользовались большим спросом среди ученых.

В дальнейшем важную роль будет играть следующая

Лемма. Пусть в множестве элементов, а в множестве — элементов. Тогда число всех различных пар , где будет равно .

Доказательство. Действительно, с одним элементом из множества мы можем составить таких различных пар, а всего в множестве элементов.

Размещения, перестановки, сочетания

Пусть у нас есть множество из трех элементов . Какими способами мы можем выбрать из этих элементов два? .

Определение. Размещениями множества из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по > элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Число всех размещений множества из элементов по элементов обозначается через (от начальной буквы французского слова “arrangement”, что означает размещение), где и .

Теорема. Число размещений множества из элементов по элементов равно

   

Доказательство. Пусть у нас есть элементы . Пусть — возможные размещения. Будем строить эти размещения последовательно. Сначала определим — первый элемент размещения. Из данной совокупности элементов его можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента для второго элемента остается способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Поэтому имеем:

   

Пример. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов?

Решение. Искомое число трехполосных флагов:

   

Определение. Перестановкой множества из элементов называется расположение элементов в определенном порядке.

Так, все различные перестановки множества из трех элементов — это

   

Очевидно, перестановки можно считать частным случаем размещений при >.

Число всех перестановок из элементов обозначается (от начальной буквы французского слова “permutation”, что значит “перестановка”, “перемещение”). Следовательно, число всех различных перестановок вычисляется по формуле

   

Пример. Сколькими способами можно расставить ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

Решение. Искомое число расстановки ладей

   

по определению!

Определение. Сочетаниями из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря, -элементные подмножества данного множества из элементов).

Как видим, в сочетаниях в отличие от размещений не учитывается порядок элементов. Число всех сочетаний из элементов по элементов в каждом обозначается (от начальной буквы французского слова “combinasion”, что значит “сочетание”).k

1. .

Действительно, каждому -элементному подмножеству данного -элементного множества соответствует одно и только одно -элементное подмножество того же множества.

2. .

Действительно, мы можем выбирать подмножества из элементов следующим образом: фиксируем один элемент; число -элементных подмножеств, содержащих этот элемент, равно ; число -элементных подмножеств, не содержащих этот элемент, равно .

Треугольник Паскаля

В этом треугольнике крайние числа в каждой строке равны 1, а каждое не крайнее число равно сумме двух чисел предыдущей строки, стоящих над ним. Таким образом, этот треугольник позволяет вычислять числа .

.

Теорема.

   

Доказательство. Рассмотрим множество из элементов и решим двумя способами следующую задачу: сколько можно составить последовательностей из элементов данного
множества, в каждой из которых никакой элемент не встречается дважды?

1 способ. Выбираем первый член последовательности, затем второй, третий и т.д. член

   

2 способ. Выберем сначала элементов из данного множества, а затем расположим их в некотором порядке

   

   

   

Домножим числитель и знаменатель этой дроби на :

   

   

Пример. Сколькими способами можно в игре “Спортлото” выбрать 5 номеров из 36?

Искомое число способов

   

Задачи.

1. Номера машин состоят из 3 букв русского алфавита (33 буквы) и 4 цифр. Сколько существует различных номеров автомашин?
2. На рояле 88 клавиш. Сколькими способами можно извлечь последовательно 6 звуков?
3. Сколько есть шестизначных чисел, делящихся на 5?
4. Сколькими способами можно разложить 7 разных монет в три кармана?
5. Сколько можно составить пятизначных чисел, в десятичной записи которых хотя бы один раз встречается цифра 5?
6. Сколькими способами можно усадить 20 человек за круглым столом, считая способы одинаковыми, если их можно получить один из другого движением по кругу?
7. Сколько есть пятизначных чисел, делящихся на 5, в записи которых нет одинаковых цифр?
8. На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см нарисована окружность радиуса 100 см, не проходящая через вершины клеток и не касающаяся сторон клеток. Сколько клеток может пересекать эта окружность?
9. Сколькими способами можно расставить в ряд числа так, чтобы числа стояли рядом и притом шли в порядке возрастания?
10. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр , если каждую цифру можно использовать только один раз?
11. Из слова РОТ перестановкой букв можно получить еще такие слова: ТОР, ОРТ, ОТР, ТРО, РТО. Их называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова ЛОГАРИФМ?
12. Назовем разбиением натурального числа представление его в виде суммы натуральных чисел. Вот, например, все разбиения числа :

   

Разбиения считаются разными, если они отличаются либо числами, либо порядком слагаемых.

Сколько существует различных разбиений числа на слагаемых?
13. Сколько существует трехзначных чисел с невозрастающим порядком цифр?
14. Сколько существует четырехзначных чисел с невозрастающим порядком цифр?
15. Сколькими способами можно рассадить в ряд 17 человек, чтобы и оказались рядом?
16. девочек и мальчиков рассаживаются произвольным образом в ряду из мест. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы никакие две девочки не сидели рядом?
17. девочек и мальчиков рассаживаются произвольным образом в ряду из мест. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы все девочки сидели рядом?

Комбинаторика: основные правила и формулы.

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и  принципы  комбинаторики  используются  в  теории  вероятностей для подсчета  вероятности  случайных  событий и,  соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это,  в  свою  очередь,  позволяет  исследовать  закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания  статистических  закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

 

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы.  Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m  способами.

 

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Решение

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

 

Правило произведения.  Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k  способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

способами.

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Решение

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

 Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

 Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

 Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

.

 Размещения без повторений. Размещения с повторениями

 Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

 

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение.

В  данной  задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким  образом,  задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

 

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Решение

Можно  считать,  что  опыт  состоит  в 5-кратном выборе  с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом,  число  пятизначных  номеров  определяется  числом  размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

.

 Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

 Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Решение

Генеральной  совокупностью  являются 4  буквы слова  «брак» (б, р, а, к). Число  «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы.

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Решение

Здесь 1 буква  «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква  «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»

Урок 32. сочетания с повторениями — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №32. Сочетания с повторениями.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Элементы комбинаторики
• Сочетания с повторениями

Глоссарий по теме

Перестановки

В комбинаторике конечное упорядоченное множество называется перестановкой без повторения, а их число обозначают Р_n .

Перестановки элементов одного и того же множества отличаются только порядком расположения элементов друг относительно друга.

P_n=1∙2∙3∙4∙…∙(n-1)∙n

Если элементы множества расставлены по кругу, то это так называемые перестановки n элементов по кругу. Их количество равно (n — 1)!

Если множество содержит одинаковые элементы, то подсчет количества перестановок с повторениями производится следующим образом: элементы первого типа можно переставить между собой (n₁ – количество таких элементов) способами, второго типа – способами, k -го типа — способами. Значит, число перестановок с повторениями меньше n! в раз, чем число перестановок без повторения, то есть это число равно

Размещения

В комбинаторике упорядоченные подмножества данного множества называются «размещениями из n элементов на k мест» или, проще: «размещениями из n по k».

Выбор m элементов из множества, содержащего n элементов с повторением и с упорядочиванием выбранных элементов в последовательную цепочку называют размещениями с повторениями из n элементов по m , а общее число обозначают

В комбинаторике подмножества данного множества называются «сочетаниями из n по k элементов» или, проще: «сочетания из n по k».

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е.,   Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Представим себе, что из элементов множества мы составляем всевозможные трехэлементные комбинации, в которых порядок не важен (как в сочетаниях), но выбрав каждый элемент мы возвращаем его обратно в множество и можем выбирать его снова. Сколько же в таком случае мы получим комбинаций

Считаем, что aab, aba или baa одинаковые наборы

aba и abc –разные наборы

Изучение этого случая начнем с простого примера:

В кондитерской имеются пирожные трех видов. Сколькими способами можно заказать набор, состоящий из пяти пирожных?

Поскольку порядок расположения пирожных в коробке не важен, речь идет о сочетаниях. Кроме того, в наборах обязательно будут повторения.

Зашифруем каждый заказ нулями и единицами. Сначала напишем столько единиц, сколько заказали пирожных первого вида. Потом напишем ноль. Дальше напишем столько единиц, сколько заказали пирожных второго вида. Затем опять ноль. Опять напишем столько единиц, сколько заказали пирожных третьего вида.

пирожные			Шифр заказа
Первый вид	Второй вид	Третий вид
2	2	1	1101101
5			1111100

Каждый «зашифрованный» заказ представляет собой комбинацию из пяти 1 и двух 0. Число выбора заказа равно числу перестановок с повторениями элементов множества {1,1,1,1,1,0,0}. В этом множестве 1 повторяется пять раз и 0 – два раза

Применим формулу для числа перестановок с повторениями

Значит, способов заказать набор пирожных 21.

Выбор m элементов из множества, содержащего n элементов с повторением и без упорядочивания выбранных элементов в последовательную цепочку называют сочетаниями с повторениями из n элементов по m

Пусть множество содержит n элементов, а выборка будет содержать m элементов. Аналогично тому, как мы делали в примере, зашифруем каждую выборку единицами и нулями.

Число единиц равно числу выбираемых элементов, то есть m. Поскольку всего различных элементов в множестве n, то мы должны поставить между единицами (n-1) «перегородку», то есть (n-1) нулей. Число размещений с повторениями равно числу перестановок с повторениями элементов полученного множества из m единиц и (n-1) нулей

Сочетания с повторениями используем тогда, когда порядок расположения элементов в выборке не имеет значения и элементы могут повторяться

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из следующих значений: 5, 6, 7, 8, 9?

Решение:

Данные стороны таковы, что любые три из них соответствуют правилу треугольника, т.е. каждая сторона меньше суммы двух других. Значит, любая комбинация из трех сторон образует треугольник. Здесь речь идет о числе сочетаний из 5 элементов по 3 с повторениями:

Ответ: 35

Пример 2.

Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?

Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае.

Поскольку  ,  ,  ,  , , то существует 5+15+35+70+126=251 чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: 126

Приложение 2. Вводные слова и сочетания

ПУНКТУАЦИЯ ПРИ ВВОДНЫХ СЛОВАХ И СОЧЕТАНИЯХ

Вводные слова – это слова, формально не связанные с членами предложения, не являющиеся членами предложения и выражающие отношение к сообщаемому или его характеристику. С грамматической точки зрения вводные слова представлены различными глагольными формами (личными формами, инфинитивами, деепричастиями), существительными и местоимениями (с предлогами и без предлогов), наречиями, именными и глагольными фразеологизмами.

Вводные слова и сочетания слов выделяются (или отделяются) запятыми. Однако необходимо обратить внимание читателя на две трудности, связанные с пунктуацией при вводных словах.

Первая трудность заключается в том, что среди вводных слов и сочетаний очень мало таких, которые употребляются только как вводные и, следовательно, всегда обособляются (напр., во-первых, по-моему, с позволения сказать). В большинстве случаев одни и те же слова могут употребляться как в роли вводных, так и в роли членов предложения (как правило, сказуемых или обстоятельств) или служебных слов (союзов, частиц). Различия между ними проявляются в контексте. Примеры пунктуационного оформления слов и сочетаний, которые могут употребляться или всегда употребляются в функции вводных слов, приведены в соответствующих статьях справочника.

Вторая трудность состоит в том, что пунктуационное оформление слов, являющихся вводными, зависит также от их окружения. Основные правила и закономерности, не прокомментированные в словарных статьях, приведены ниже. 

1. Встреча двух вводных слов

При встрече двух вводных слов (вводных сочетаний, предложений) между ними ставится запятая.

Он же, к несчастию, как ты видишь, недурен собой, то есть румян, гладок, высок… И. Гончаров, Обыкновенная история. Собственно говоря, сказать по совести, я хочу любви, что ли, или – как она там называется? В. Вересаев, Сестры. И тут, как на грех, как нарочно, приезжает дядя Миша. А. Рыбаков, Тяжелый песок. Собственно, строго говоря, в этой ситуации следовало бы попросту проснуться. А. и Б. Стругацкие, За миллиард лет до конца света. …Этот визит занял весь вечер и напрочь разрушил столь любимое им чувство одиночества. В конце концов, может, и хорошо, что разрушил… В. Быков, Бедные люди.

2. Вводное слово и обособленный оборот

Вводное слово или сочетание может стоять в начале или в конце обособленного члена предложения, а также находиться внутри его. Знаки препинания в этих случаях ставятся следующим образом:

А) Если вводное слово стоит в начале обособленного оборота – запятые ставятся перед вводным словом и после всего обособленного оборота. После вводного слова запятая не ставится (иначе говоря, запятая, которая должна была «закрывать» вводное слово, переносится в конец обособленного оборота).

Мало-помалу присоединяются к их обществу все, окончившие довольно важные домашние занятия, как то: поговорившие с своим доктором о погоде и о небольшом прыщике, вскочившем на носу, узнавшие о здоровье лошадей и детей своих, впрочем показывающих большие дарования… Н. Гоголь, Невский проспект. …Вера Николаевна испытывала перед своим повелителем – в общем-то, совсем не похожим на Ивана Грозного – влюбленный трепет, может быть даже преклонение верноподданной. В. Катаев, Трава забвенья. Я тоже привык записывать свои мысли на чем попало, в частности на папиросных коробках. К. Паустовский, Золотая роза. …Относительно золота, которое добывал Калиостро без всяких трудов из всех других металлов, например из меди, прикосновением рук превращая их в золото, Строганов тоже был невысокого мнения. Ю. Тынянов, Гражданин Очер.

Б) Если вводное слово находится внутри обособленного оборота – оно выделяется запятыми с двух сторон, при этом знаки в начале и в конце обособленного оборота сохраняются.

Одолеваемый этими горькими мыслями, не совсем, впрочем, справедливыми и навеянными взволновавшим его письмом Аниканова, Травкин вышел из овина в холодный рассвет. Э. Казакевич, Звезда. Это мое сочинение – или, вернее, лекция – не имеет ни определенной формы, ни хронологической структуры, которую я не признаю… В. Катаев, Алмазный мой венец.

В) Если вводное слово стоит в конце обособленного оборота – запятые ставятся перед обособленным оборотом и после него. Перед вводным словом запятая не ставится.

А вместо пятнышка впереди обозначилась еще одна дорога, то есть не то чтобы дорога, царапина земная, бороздка скорее. В. Астафьев, Так хочется жить. На праздники мы решили куда-нибудь съездить, в Киев например.

Примечание 1. Если оборот заключен в скобки, то стоящее в его начале или конце вводное слово отделяется запятой по общему правилу: Был он казахом с почти русской фамилией и русским (кажется, начальным) образованием. Ю. Домбровский, Хранитель древностей. Двое живы (покуда их вексель продлен), // третий (лишний, наверно) в раю погребен… Б. Окуджава, Черный ворон сквозь белое облако глянет… Одно время я даже имел слабость (или смелость, может быть) прикидывать в уме, как бы я за это взялся, если бы да кабы… В. Набоков, Дар.

Примечание 2. Вводные слова, стоящие перед оборотами, которые начинаются союзами «как» и «чтобы», выделяются запятыми по общему правилу: Прожитый день показался ей бессмысленным, в сущности, как и вся жизнь. Он на мгновение задумался, вероятно, чтобы подобрать нужные слова.

Примечание 3. В некоторых источниках указывается, что вводные слова вернее, точнее, придающие высказыванию уточняющий характер, выделяются запятыми, при этом следующие за ними члены предложения не обособляются. Такое пунктуационное оформление, действительно, возможно: Но тебе, мальчик, вернее, твоему имени я кое-чем обязан. Л. Кассиль, Будьте готовы, Ваше высочество! А перед Таниной дверью, вернее, этажом ниже толпилась очередь поздравителей. С. Соловейчик, Ватага «Семь ветров». Переворачиваюсь с боку на бок, вернее, с живота на спину и думаю… О чём? Да всё о том же… В. Некрасов, Взгляд и Нечто. За окном, знал Леонид, есть сохлая ветвь старого тополя, и к ней прикреплен, точнее, ввинчен в нее «стакан» радиопроводки. В. Астафьев, Печальный детектив.

Однако в примерах из художественной литературы часто встречается иная расстановка знаков препинания: уточняющие члены предложения, вводимые словами вернее, точнее, обособляются, а сами эти слова, стоящие в начале обособленного оборота, в соответствии с общим правилом не отделяются от него запятой (но иногда могут быть отделены тире): К сожалению, врачи еще мало умеют распознавать истерическую, вернее психическую, природу ряда заболеваний. И. Ефремов, Лезвие бритвы. Целая серия характеров, вернее носителей мнений, представляется мне возможной для воплощения в персонажах современной советско-человеческой комедии. Ю. Олеша, Книга прощания. Партизанский главарь, точнее военачальник Кежемского объединения партизан Зауралья, сидел перед самым носом докладчика в вызывающе-небрежной позе… Б. Пастернак, Доктор Живаго. …Волчица вдруг явственно услышала в себе, точнее внутри чрева, живые толчки. Ч. Айтматов, Плаха. Анализировать прошлое, вернее – дурное в прошлом, имеет смысл только в том случае, когда на основании этого анализа можно исправить настоящее или подготовить будущее. В. Некрасов, В окопах Сталинграда. Хочется писать легкое, а не трудное. Трудное – это когда пишешь, думая о том, что кто-то прочтет. Ветка синтаксиса, вернее – розга синтаксиса, всё время грозит тебе. Ю. Олеша, Книга прощания.

3. Вводное слово и союз

Вводные слова и сочетания могут отделяться или не отделяться запятой от предшествующего сочинительного союза в зависимости от контекста.

Запятая после союза ставится, если вводное слово можно опустить или переставить в другое место предложения без нарушения его структуры.

Я узнал только, что он некогда был кучером у старой бездетной барыни, бежал со вверенной ему тройкой лошадей, пропадал целый год и, должно быть, убедившись на деле в невыгодах и бедствиях бродячей жизни, вернулся сам, но уже хромой… И. Тургенев, Певцы. Однако Володя, видя, как трудно мальчишке, совсем не ругался, а, наоборот, говорил нечто подбодряющее. Ю. Визбор,  Альтернатива вершины Ключ. Перед уходом я достал из-под стекла список и предельным нажимом вымарал слово «Волобуй» своей радужной ручкой. Я решился на это потому, что оно лохматилось бумажными ворсинками и, значит, его уже царапали до меня когтем… К. Воробьев, Вот пришел великан. Она очень долго страдала после разлуки, но, как известно, время лечит любые раны.

Если же изъятие вводного слова невозможно (т. е. союз включается во вводную конструкцию, образуя с ней единое сочетание), то запятая после союза не ставится (обычно это бывает при союзе а).

«Вы ничуть не мешаете мне, – возразил он, – извольте себе стрелять, а впрочем, как вам угодно; выстрел ваш остается за вами; я всегда готов к вашим услугам». А. Пушкин, Выстрел. Вы, кажется, потом любили португальца, // А может быть, с малайцем вы ушли. А. Вертинский, Где вы теперь… Трава на нашей поляне, пожелтевшая и сморенная, все же осталась живой и мягкой, на ней возились свободные от игры, а лучше сказать, проигравшиеся ребята. В. Распутин, Уроки французского. Случайно появляется газ или нет, связан ли он с циклонами, а значит, можно ли по этому признаку прогнозировать – вопрос требует выяснения. А. Гладилин, Прогноз на завтра.

Вводное слово обычно не отделяется знаком препинания от присоединительного союза, стоящего в начале предложения.

И в самом деле, за эти четыре года, пока служу в гимназии, я чувствую, как из меня выходят каждый день по каплям и силы и молодость. А. Чехов, Три сестры. «Нет, жизнь все-таки мудра, и надо подчиняться ее законам, – сказал он задумчиво. – И кроме того, жизнь прекрасна». А. Куприн, Леночка. И вообще, сейчас, когда он немного отвлекся от мысли о пропаже скрипки и стал считать, что именно у него было украдено из личных вещей, домашнего имущества, появилась в нем какая-то застенчивая неловкость… А. и Г. Вайнеры, Визит к Минотавру. На втором этаже в коридоре была мягкая ковровая дорожка, и Дмитрий Алексеевич почувствовал близость начальства. И действительно, он сразу же увидел табличку из толстого стекла: «Директор». В. Дудинцев, Не хлебом единым. В 1925 году у него вроде бы еще оставалось какое-то время в запасе. Да кроме того, он уже и сделал кое-что путное. Д. Гранин, Зубр.

Примечание. При интонационном выделении вводного слова оно может отделяться запятой от союза: Но, к великой моей досаде, Швабрин, обыкновенно снисходительный, решительно объявил, что песня моя нехороша. А. Пушкин, Капитанская дочка.

4. Вводное слово на границе однородных членов или частей сложного предложения

Вводные слова и сочетания, стоящие на границе однородных членов или частей сложного предложения и относящиеся к следующему за ними слову или предложению, не отделяются от него запятой: Послышался резкий стук, должно быть сорвалась ставня. А. Чехов, Невеста. (Ср.: Послышался резкий стук. Должно быть, сорвалась ставня.)

 

***

Вводные предложения имеют значения, близкие к значениям вводных слов и сочетаний. Они выделяются запятыми, либо, значительно реже, – знаком тире: Меня вела, как говорилось в старину, таинственная сила предопределения. В. Катаев, Святой колодец. Теперь, как подобает настоящему государству, Швамбрании надо было обзавестись историей. Л. Кассиль, Кондуит и Швамбрания. Как принято говорить в газетных отчетах, «его стены видели» многих знаменитых людей. К. Паустовский, Золотая роза. …Сидят здесь под страхом смерти и – что еще хуже – под проливным дождем. Э. Казакевич, Звезда.  

Изредка в художественной литературе встречаются примеры выделения знаком тире и вводных слов: Гладышев посмотрел на собеседника и вдруг сообразил: «А ведь ты, Ваня, небось и не знаешь, что человек произошел от обезьяны». – «По мне – хоть от коровы», – сказал Чонкин. В. Войнович, Жизнь и необычайные приключения солдата Ивана Чонкина.

простых перестановок и комбинаций — лучше объяснение

Я всегда путала «перестановку» и «комбинацию» — какая из них какая?

Вот простой способ запомнить: перестановка звучит сложно , не так ли? И это. При перестановках важна каждая мелочь. Алиса, Боб и Чарли отличаются от Чарли, Боба и Алисы (вставьте сюда имена своих друзей).

С другой стороны, комбинации

довольно просты. Детали значения не имеют.Алиса, Боб и Чарли такие же, как Чарли, Боб и Алиса.

Перестановки предназначены для списков (порядок имеет значение), а комбинации — для групп (порядок не имеет значения).

Вы знаете, «кодовый замок» действительно следует называть «блокировкой перестановки». Порядок, в котором вы ставите числа, имеет значение.

Настоящий «кодовый замок» примет правильными и 10-17-23, и 23-17-10.

Перестановки: волосатые детали

Давайте начнем с перестановок, или всех возможных способов, чего-то сделать.Мы используем модный термин «перестановка», поэтому мы позаботимся о каждой детали, включая порядок каждого элемента. Допустим, у нас 8 человек:

  1: Алиса
2: Боб
3: Чарли
4: Дэвид
5: Ева
6: Фрэнк
7: Джордж
8: Горацио
  

Какими способами мы можем присуждать призы за 1-е, 2-е и 3-е места среди восьми участников? (Золото / Серебро / Бронза)

Мы собираемся использовать перестановки, так как порядок, в котором мы раздаем эти медали, имеет значение. Вот как он распадается:

• Золотая медаль: 8 вариантов: A B C D E F G H (Как я умно совмещал имена с буквами, а?).Скажем, A выигрывает золото.
• Серебряная медаль: 7 вариантов: B C D E F G H. Допустим, B выигрывает серебро.
• Бронзовая медаль: 6 вариантов: C D E F G H. Скажем так… C выигрывает бронзу.

Мы выбрали определенных людей, которые выиграют, но детали не имеют значения: сначала у нас было 8 вариантов, затем 7, затем 6. Общее количество вариантов составило 8 долларов * 7 * 6 = 336 долларов.

Давайте посмотрим на детали. Нам пришлось заказать 3 человека из 8. Для этого мы начали со всеми вариантами (8), затем забирали их по одному (7, затем 6), пока у нас не закончились медали.

Мы знаем, что факториал:

К сожалению, этого уже слишком! Нам нужно всего 8 * 7 * 6 $. Как мы можем «остановить» факториал на 5?

Вот где перестановки становятся крутыми: обратите внимание, как мы хотим избавиться от $ 5 * 4 * 3 * 2 * 1 $. Как еще это назвать? 5 факториал!

Итак, если мы сделаем 8! / 5! получаем:

А почему мы использовали цифру 5? Потому что это осталось после того, как мы выбрали 3 медали из 8. Итак, лучше написать это:

где 8! / (8-3)! это просто причудливый способ сказать «Используйте первые 3 цифры из 8!».Если у нас есть n элементов и мы хотим выбрать k в определенном порядке, мы получим:

И это причудливая формула перестановки: у вас есть n элементов, и вы хотите найти количество способов, которыми можно заказать k элементов:

Комбинации, Хо!

Комбинации просты. Порядок не имеет значения. Вы можете смешать это, и он выглядит так же. Допустим, я скряга и не могу позволить себе раздельные золотые, серебряные и бронзовые медали.Фактически, я могу позволить себе только пустые консервные банки.

Сколько способов я могу подарить 3 консервные банки 8 людям?

Ну, в этом случае порядок, в котором мы отбираем людей, не имеет значения. Если я дам банку Алисе, Бобу, а затем Чарли, это то же самое, что дать Чарли, Алисе и затем Бобу. В любом случае они разочарованы одинаково.

Это вызывает интересный момент — здесь у нас есть некоторые дублирования. Алиса Боб Чарли = Чарли Боб Алиса. На мгновение давайте просто разберемся, сколькими способами мы можем переставить трех человек.

Итак, у нас есть 3 варианта для первого лица, 2 для второго и только 1 для последнего. Итак, у нас есть 3 * 2 * 1 $ способов перераспределить 3 человека.

Погодите … это немного похоже на перестановку! Ты обманул меня!

Верно. Если у вас N человек и вы хотите знать, сколько аранжировок имеется для всех из них, это просто N факториал или N!

Итак, если у нас есть 3 жестяных банки, которые можно раздать, их будет 3! или 6 вариантов на каждый выбор, который мы выберем.Если мы хотим выяснить, сколько у нас комбинаций, мы просто создаем всех перестановок и делим на все избыточности . В нашем случае мы получаем 336 перестановок (сверху), делим на 6 избыточностей для каждой перестановки и получаем 336/6 = 56.

Общая формула

, что означает «Найдите все способы выбрать k человек из n и разделить на k! варианты ». Записав это, мы получаем нашу формулу комбинирования , или количество способов комбинировать k элементов из набора n:

Иногда C (n, k) записывается как:

, который является биномиальным коэффициентом.

Несколько примеров

Вот несколько примеров комбинаций (порядок не имеет значения) из перестановок (порядок имеет значение).

• Комбинация: Выбор команды из 3 человек из группы из 10 человек. $ C (10,3) = 10! / (7! * 3!) = 10 * 9 * 8 / (3 * 2 * 1) = 120 $.

  Перестановка: выбор президента, вице-президента и водяного мальчика из группы из 10 человек. $ P (10,3) = 10! / 7! = 10 * 9 * 8 = 720 $.

• Комбинация: выбор 3 десертов из 10 меню. C (10,3) = 120.

  Перестановка: перечисление 3 ваших любимых десертов по порядку из меню из 10. P (10,3) = 720.

Не запоминайте формулы, поймите, почему они работают. Комбинации звучат проще, чем перестановки, и они есть. У вас меньше комбинаций, чем перестановок.

Другие сообщения в этой серии

1. Простые перестановки и комбинации
2. Перемещение по сетке с использованием комбинаций и перестановок
3. Как понимать комбинации с помощью умножения
4. Почему мы умножаем комбинации?

Калькулятор комбинаций и перестановок

Узнайте, сколько разных способов выбрать предметы.
Для более подробного объяснения формул, пожалуйста, посетите «Комбинации и перестановки».

Примечание. Здесь находится старая версия Flash.

Для более подробного объяснения, пожалуйста, посетите «Комбинации и перестановки».

Опытные пользователи!

Теперь вы можете добавить «Правила», которые уменьшат список:

Правило «имеет», которое гласит, что определенные элементы должны быть включены (чтобы запись была включена).

Пример: имеет 2, a, b, c означает, что запись должна содержать не менее двух букв a, b и c.

Правило «нет» , которое означает, что некоторые элементы из списка не должны встречаться вместе.

Пример: no 2, a, b, c означает, что запись должна , а не содержать две или более букв a, b и c.

Правило «шаблона» используется для наложения некоторого шаблона на каждую запись.

Пример: шаблон c, * означает, что буква c должна быть первой (может следовать все остальное)

Поместите правило в отдельной строке:

Пример: правило «имеет»

a, b, c, d, e, f, g
имеет 2, a, b

Комбинации a, b, c, d, e, f, g, которые имеют по крайней мере 2 из a, b или c

Подробные правила

Правило «имеет»

За словом «имеет» следует пробел и число.Затем запятая и список элементов, разделенных запятыми.

Число говорит, сколько (минимум) из списка необходимо для того, чтобы этот результат был разрешен.

Пример имеет 1, a, b, c

Допускается, если есть a , или b , или c , или a и b , или a и c , или b и c , или все три a, b и с .

Другими словами, он настаивает на том, чтобы в результате присутствовали a, b или c.

Итак, {a, e, f} принято, но {d, e, f} отклонено.

Пример имеет 2, a, b, c

Допустим, если есть a и b , или a и c , или b и c , или все три a, b и c .

Другими словами, он настаивает на том, чтобы в результате было как минимум 2 из a, b или c.

Итак, {a, b, f} принято, но {a, e, f} отклонено.

Правило «нет»

Слово «нет», за которым следует пробел и число. Затем запятая и список элементов, разделенных запятыми.

Число указывает, сколько (минимум) из списка необходимо для отклонения.

Пример: n = 5, r = 3, Order = no, Replace = no

Что обычно дает:

{a, b, c} {a, b, d} {a, b, e} {a, c, d} {a, c, e} {a, d, e} {b, c, d } {b, c, e} {b, d, e} {c, d, e}

Но когда мы добавляем такое правило «нет»:

а, б, в, г, д, е, г
№ 2, а, б

Получаем:

{a, c, d} {a, c, e} {a, d, e} {b, c, d} {b, c, e} {b, d, e} {c, d, e }

Записи {a, b, c}, {a, b, d} и {a, b, e} отсутствуют, потому что правило говорит, что у нас не может быть 2 из списка a, b (имеющего a или b нормально, но не вместе)

Пример: № 2, а, б, в

Разрешает только это:

{a, d, e} {b, d, e} {c, d, e}

Он отклонил любые с a и b , или a и c , или b и c , или даже все три a, b и c .

Итак, {a, d, e) разрешено (в нем только один из a, b и c)

Но {b, c, d} отклоняется (у него 2 из списка a, b, c)

Пример: № 3, а, б, в

Разрешает все эти:

{a, b, d} {a, b, e} {a, c, d} {a, c, e} {a, d, e} {b, c, d} {b, c, e } {b, d, e} {c, d, e}

Отсутствует только {a, b, c}, потому что это единственный, у которого 3 из списка a, b, c

Правило «выкройки»

Слово «шаблон», за которым следует пробел и список элементов, разделенных запятыми.

Вы можете включить следующие «особые» предметы:

• ? (вопросительный знак) означает любой предмет. Это похоже на «подстановочный знак».
• * (звездочка) означает любое количество элементов (0, 1 или более). Как «супер-шаблон».

Пример: узор?, C, *, f

Означает «любой элемент, за которым следует c, за которым следует ноль или более элементов, затем f»

Итак, {a, c, d, f} разрешено

И {b, c, f, g} также разрешены (между c и f нет пунктов, и это нормально)

Но {c, d, e, f} нет, потому что перед c нет элемента.

Пример: сколькими способами можно выстроить Алекса, Бетти, Кэрол и Джона в ряд, с Джоном после Алекса.

Используйте: n = 4, r = 4, order = yes, replace = no.

Алекс, Бетти, Кэрол, Джон
узор *, Алекс, *, Джон

Результат:

{Алекс, Бетти, Кэрол, Джон} {Алекс, Бетти, Джон, Кэрол} {Алекс, Кэрол, Бетти, Джон} {Алекс, Кэрол, Джон, Бетти} {Алекс, Джон, Бетти, Кэрол} {Алекс, Джон , Кэрол, Бетти} {Бетти, Алекс, Кэрол, Джон} {Бетти, Алекс, Джон, Кэрол} {Бетти, Кэрол, Алекс, Джон} {Кэрол, Алекс, Бетти, Джон} {Кэрол, Алекс, Джон, Бетти} {Кэрол, Бетти, Алекс, Джон}

Лотереи

Лотерея — это разновидность азартных игр, при которой люди покупают билеты, а затем выигрывают, если выберут их числа.

«Лот» — это то, что происходит случайно. Возможно, вы слышали, как люди говорят: «Давайте решим жеребьевкой» или «Так что это мой удел».

Правила

У разных лотерей разные правила.

Здесь мы будем использовать типичную лотерею, в которой игрок выбирает 6 различных номеров из 49 .

Пример:

Вы участвуете в лотерее, покупая билет и выбирая свои шесть чисел.

Вы выбираете: 1, 2, 12, 14, 20 и 21

В субботу проводится розыгрыш лотереи, и из выигрышных номеров составляют:

3, 12, 18, 20, 32 и 43

Вы сопоставили два чисел (12 и 20):

• Этого достаточно, чтобы выиграть что-нибудь? №
• Обычно вы должны угадать не менее трех чисел , чтобы получить небольшой приз.
• Удовлетворение четырех чисел дает больший приз,
• Соответствие пяти еще больше.
• Но если вы угадаете ВСЕ ШЕСТЬ номеров, вы можете выиграть миллионов.

Шансы на совпадение всех 6 чисел равны 1 из 13 983 816 (вычислено ниже).

Выбор номеров

Они могут выиграть.

Цифры не знают, какие они!

Лотерея: с такой же вероятностью, что выпадет «1,2,3,4,5,6», как «9,11,16,23,27,36»

Серьезно!

Вместо чисел это могут быть символы или цвета, лотерея все равно будет работать.

На самом деле результат, приведенный ниже, действительно имел место (Florida Fantasy 5 от 21 марта 2011 г.):

Так что неважно, какие числа вы выберете, шансы одинаковы.

Более вероятные номера?

Значит, вы читали, что одни числа встречаются чаще, чем другие? Ну, конечно, есть, это случайный случай.

У организаторов лотерей есть строгие правила, запрещающие «фальсификацию» результатов. Но случайный случай может иногда приводить к странным результатам.

Например, используя The Spinner, я сделал 1000 вращений на 10 чисел и получил следующее:

Вау! 7 выпало 115 раз, ,
и 8 только 81 раз.

Означает ли это, что 7 теперь будет появляться чаще или реже ? На самом деле это ничего не значит, 7 с такой же вероятностью, как и любое число, будет выбрано.

Попробуйте сами и посмотрите, какие результаты вы получите.

Популярное число

Но есть хитрость! У людей есть любимые числа, поэтому, когда выпадают популярные числа, вы делитесь выигрышем с множеством людей.

Дни рождения — это популярный выбор, поэтому люди выбирают 1–12 и 1–31 чаще. Также счастливые числа.

Так что, возможно, вам стоит выбрать непопулярных номера , чтобы, когда вы ДЕЙСТВИТЕЛЬНО выиграете, вы получите больше денег.

(Предполагается, что в вашей лотерее призы распределяются между победителями.)

Сожаление

Не выбирайте одни и те же номера каждую неделю . Это ловушка! Если вы забудете неделю, то беспокоитесь, что выпадет ваш номер , и это заставит вас покупать билет каждую неделю (даже если вы очень заняты).

Мой совет:

Составьте список из множества непопулярных номеров.
Каждый раз выбирать случайным образом из этого списка.

Синдикаты

«Синдикат» — это группа людей, которые все вкладывают небольшие деньги, чтобы группа могла купить много билетов. Шансы на выигрыш повышаются, но каждый раз ваша выплата меньше (потому что вы делитесь).

Syndicates могут быть забавными, потому что они общительны … способ завести и сохранить дружеские отношения. К тому же некоторые синдикаты любят тратить небольшие выигрыши на всех, кто собирается вместе пообедать.

И выиграть меньшую сумму не так уж и плохо.

Подумайте об этом … выигрыш Десяти миллионов действительно изменит вашу жизнь, но Один миллион также улучшит вашу жизнь. Вы могли бы предпочесть десятикратный шанс выиграть миллион.

Вероятность выиграть большой приз

ОК. Каковы шансы на то, что вы выиграете большой приз?

Шансы на выигрыш всех 6 номеров равны 1 из 13 983816

Вы можете использовать Калькулятор комбинаций и перестановок, чтобы вычислить это (используйте n = 49 , r = 6 , «Нет» для параметра «Важен ли порядок?» И «Нет» для параметра «Разрешено ли повторение?»)

Фактический расчет таков:

⁴⁹ C ₆ = 49! 43! × 6! = 13983816

Итак, сколько раз вам нужно сыграть, чтобы выиграть?

1 неделя

Предположим, вы играете каждую неделю

Вероятность выигрыша через 1 неделю:

1 13983816 = 0.0000000715 …

Таким образом, вероятность без выигрыша через 1 неделю составляет:

1 — 1 13983816 = 0,9999999285 …

50 лет

Допустим, вы играете 50 лет, это 2600 недель.

Вероятность невыигрыша за 2600 недель:

(1 — 1 13983816 ) ²⁶⁰⁰ = 0,999814 …

Это означает, что вероятность выигрыша (через 50 лет) равна: 1 — 0.999814 … = 0,000186 …

Еще только около 0,02%

И вы бы потратили тысячи на этот маленький шанс.

Вы могли хорошо провести отпуск за эти деньги.

НО это весело думать: «Я могу выиграть на этой неделе!»

Просто оставь это как забавное занятие, хорошо?

Твоя очередь

Теперь ваша очередь:

• Узнайте правила выигрыша в лотерею в вашем регионе.
• Сколько номеров вам нужно выбрать и из скольких номеров вы выбираете?
• Рассчитайте вероятность выигрыша в любую неделю.
• Подсчитайте вероятность выигрыша, если вы будете играть каждую неделю в течение 50 лет.
• Сколько денег вы бы сэкономили, не играя? Что можно купить за эти деньги?

Треугольник Паскаля

Одним из самых интересных образов чисел является треугольник Паскаля (названный в честь Блеза Паскаля , известного французского математика и философа).

Чтобы построить треугольник, начните с «1» вверху, а затем продолжайте размещать числа под ним в виде треугольника.

Каждое число — это числа непосредственно над ним, сложенные вместе.

(здесь я выделил, что 1 + 3 = 4)

Узоры внутри треугольника

Диагонали

Первая диагональ, конечно же, всего лишь «1» с

На следующей диагонали расположены счетные числа (1,2,3 и т. Д.).

На третьей диагонали расположены треугольные числа

(Четвертая диагональ, не выделенная, имеет тетраэдрические числа.)

Симметричный

Треугольник тоже симметричный. Цифры на левой стороне имеют одинаковые совпадающие числа на правой стороне, как в зеркальном отображении.

Горизонтальные суммы

Что вы заметили в горизонтальных суммах?

Есть узор?

Они удваивают каждый раз (степени двойки).

Показатели 11

Каждая строка также представляет собой степень (степень) 11:

• 11 ⁰ = 1 (первая строка — просто «1»)
• 11 ¹ = 11 (вторая строка — «1» и «1»)
• 11 ² = 121 (третья строка — «1», «2», «1»)
• и т. Д.!

Но что происходит с 11 ^{5 ? Простой! Цифры просто перекрываются, вот так:}

То же самое происходит с 11 ^{6 и т. Д.}

Квадраты

Для второй диагонали квадрат числа равен сумме чисел рядом с ним и под ними обоими.

Примеры:

• 3 ² = 3 + 6 = 9,
• 4 ² = 6 + 10 = 16,
• 5 ² = 10 + 15 = 25,
• …

Есть и веская причина … ты можешь придумать это? (Подсказка: 4 ² = 6 + 10, 6 = 3 + 2 + 1 и 10 = 4 + 3 + 2 + 1)

Последовательность Фибоначчи

Попробуйте следующее: сделайте узор, двигаясь вверх и затем вверх, затем сложите значения (как показано на рисунке)… вы получите последовательность Фибоначчи.

(Последовательность Фибоначчи начинается с «0, 1», а затем продолжается добавлением двух предыдущих чисел, например 3 + 5 = 8, затем 5 + 8 = 13 и т. Д.)

Шансы и эвены

Если вы раскрасите четные и нечетные числа, вы получите узор, такой же, как треугольник Серпинского

Использование треугольника Паскаля

Головы и решки

Треугольник Паскаля может показать вам, сколько способов совмещения орла и решки.Это может показать вам вероятность любой комбинации.

Например, если вы подбрасываете монету три раза, есть только одна комбинация, которая даст вам три решки (HHH), но есть три, которые дадут две решки и одну решку (HHT, HTH, THH), а также три, которые дают одну голову и два решки (HTT, THT, TTH) и по одному для всех решек (TTT). Это образец «1,3,3,1» в Треугольнике Паскаля.

Броски	Возможные результаты (сгруппированные)	Треугольник Паскаля
1	H T	1, 1
2	HH HT TH TT	1, 2, 1
3	HHH HHT, HTH, THH HTT, THT, TTH TTT	1, 3, 3, 1
4	HHHH HHHT, HHTH, HTHH, THHH HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH HTTT, THTT, TTHT, TTTH TTTT	1, 4, 6, 4, 1
	… и т.д …

Пример: Какова вероятность выпадения ровно двух орлов при подбрасывании 4 монет?

Есть 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (или 2 ⁴ = 16) возможных результатов, и 6 из них дают ровно две решки. Таким образом, вероятность составляет 6/16, или 37,5%

Комбинации

Треугольник также показывает, сколько комбинаций объектов возможно.

Пример: у вас есть 16 бильярдных шаров.Сколько разных способов вы можете выбрать только 3 из них (игнорируя порядок, в котором вы их выбираете)?

Ответ: спуститесь в начало строки 16 (верхняя строка — 0), а затем по трем разрядам (первое место — 0) и там значение будет вашим ответом, 560 .

Вот отрывок из строки 16:

 1 14 
 ...
1 15 105 455 1365 ...
1 16120  560  1820 4368 ... 

Формула для любого входа в треугольник

На самом деле существует формула из Комбинации для вычисления значения в любом месте треугольника Паскаля:

Обычно это называется «n выберите k» и записывается так:

Обозначение: «n выберите k» также можно записать C (n, k) , ⁿ C _k или даже _n C _k .

Знак «!» является «факториалом» и означает умножение ряда убывающих натуральных чисел. Примеры: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 1! = 1

Таким образом, Треугольник Паскаля также может быть
или «n выбрать k» треугольником, подобным этому.

(обратите внимание, что верхняя строка равна нулю строки
, а также крайний левый столбец равен нулю)

Пример: строка 4, член 2 в треугольнике Паскаля равен «6» …

… посмотрим, работает ли формула:

Да, работает! Попробуйте другое значение для себя.

Это может быть очень полезно … теперь вы можете вычислить любое значение в треугольнике Паскаля непосредственно (без вычисления всего треугольника над ним).

Полиномы

Треугольник Паскаля также может показать вам коэффициенты в биномиальном разложении:

Мощность	Биномиальное разложение	Треугольник Паскаля
2	(x + 1) 2 = 1 x 2 + 2 x + 1	1, 2, 1
3	(x + 1) 3 = 1 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1	1, 3, 3, 1
4	(x + 1) 4 = 1 x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1	1, 4, 6, 4, 1
	… и т.д …

Первые 15 строк

Для справки, я включил строки с 0 по 14 треугольника Паскаля

.

1

10

45

120

210

252

210

120

45

10

1

1

11

55

165

330

462

462

330

165

55

11

1

1

12

66

220

495

792

924

792

495

220

66

12

1

1

13

78

286

715

1287

1716

1716

1287

715

286

78

130002 130002

1

14

91

364

1001

2002

3003

3432

3003

2002

1001

364

91

364

91

Китайцы знали об этом

Этот рисунок называется «Схема семи квадратов умножения по старинному методу».Просмотр полного изображения

Это с обложки книги Чу Ши-Чи « Ссу Юань Юй Чиен» (Драгоценное зеркало четырех элементов) , написанной в году нашей эры 1303 (более 700 лет назад, и более чем на 300 лет до Паскаля!) В книге говорится, что треугольник был известен более чем за два столетия до этого.

Квинканкс

Удивительная маленькая машина, созданная сэром Фрэнсисом Гальтоном, представляет собой треугольник Паскаля, сделанный из колышков. Он называется Quincunx.

Шарики падают на первый колышек, а затем отскакивают к нижней части треугольника, где они собираются в маленькие ящики.

Сначала это выглядит совершенно случайным (и это так), но затем вы обнаруживаете, что шары складываются в красивый узор: нормальное распределение.

Биномиальное распределение

«Би» означает «два» (как у велосипеда два колеса) … … так это про вещи с два результата .

Подбрасывание монеты:

• Получили ли мы головы (H) или
• Хвосты (Т)

Мы говорим, что вероятность выпадения монеты H составляет ½
И вероятность выпадения монеты T составляет ½

Бросок кубика:

• Мы получили четверку…?
• … или нет?

Мы говорим, что вероятность четырех равна 1/6 (одна из шести граней равна четверке)
И вероятность того, что не четыре , составляет 5/6 (пять из шести граней не являются четверкой)

Обратите внимание, что матрица имеет 6 сторон, но здесь мы рассмотрим только два корпуса : «четыре: да» или «четыре: нет»

Давайте подбросим монетку!

Подбросьте справедливую монету трижды … каков шанс получить две головы ?

Трижды подбрасывая монету ( H для орла, T для решки) можно получить любой из этих 8 результатов :

Какие результаты мы хотим?

«Две головы» могут быть в любом порядке: «HHT», «THH» и «HTH» имеют две головы (и один хвост).

Итак, 3 результата дают «Две головы».

Какова вероятность каждого исхода?

Каждый исход одинаково вероятен, а их 8, поэтому каждый исход имеет вероятность 1/8

Таким образом, вероятность события «Две головы» составляет:

Количество желаемых результатов		Вероятность каждого исхода
3	×	1/8	= 3/8

Таким образом, шанс получить две головы составляет 3/8

Мы использовали специальные слова:

• Результат : любой результат трех подбрасываний монеты (8 различных возможностей)
• Событие : «Две головы» из трех подбрасываний монеты (3 исхода имеют это)

3 головы, 2 головы, 1 голова, нет

Расчеты (P означает «Вероятность»):

• P (три головки) = P ( HHH ) = 1/8
• P (две головки) = P ( HHT ) + P ( HTH ) + P ( THH ) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
• P (одна головка) = P ( HTT ) + P ( THT ) + P ( TTH ) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
• P (нулевой напор) = P ( TTT ) = 1/8

Мы можем записать это в терминах случайной переменной, X, = «Количество голов при 3 подбрасывании монеты»:

• P (X = 3) = 1/8
• P (X = 2) = 3/8
• P (X = 1) = 3/8
• P (X = 0) = 1/8

А вот как это выглядит в виде графика:

Он симметричен!

Создание формулы

А теперь представьте, что нам нужны шансы 5 орлов за 9 бросков : перечисление всех 512 исходов займет много времени!

Итак, давайте составим формулу.

В нашем предыдущем примере, как мы можем получить значения 1, 3, 3 и 1?

Что ж, они действительно находятся в Треугольнике Паскаля!

Можем ли мы сделать их по формуле?

Конечно, можем, и вот он:

Его часто называют «n choose k»

• n = общее количество
• k = число, которое мы хотим
• знак «!» означает «факториал», например 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Подробнее см. об этом в Комбинации и Перестановки.

Попробуем:

Пример: при 3 бросках, каковы шансы на 2 решки?

У нас n = 3 и k = 2 :

н! к! (Н-к)! = 3! 2! (3-2)!

= 3 × 2 × 1 2 × 1 × 1

= 3

Итак, есть 3 исхода с «2 головами»

(Мы это уже знали, но теперь у нас есть формула.)

Давайте ответим на более сложный вопрос:

Пример: при 9 бросках, каковы шансы на 5 бросков?

У нас n = 9 и k = 5 :

н! к! (Н-к)! = 9! 5! (9-5)!

= 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1

= 126

Значит, у 126 исходов будет 5 голов

А для 9 бросков всего 2 ⁹ = 512 исходов, поэтому получаем вероятность:

Количество желаемых результатов		Вероятность каждого исхода
126	×	1 512	=	126 512

Итак:

P (X = 5) = 126 512 = 0.24609375

Примерно с вероятностью 25% .

(Легче, чем перечислить их все.)

Смещение!

Пока шансы на успех или неудачу равны .

Но что, если монеты смещены (больше на одну сторону, чем на другую) или выбор не равен 50/50.

Пример: вы продаете бутерброды. 70% выбирают курицу, остальные выбирают что-то другое.

Какова вероятность продать 2 бутерброда с курицей следующим 3 покупателям?

Это похоже на пример орла и решки, но с 70/30 вместо 50/50.

Нарисуем древовидную диаграмму:

Ящики «Две курицы» выделены.

Вероятности для «двух цыплят» равны 0,147 , потому что мы умножаем два 0,7 и один 0,3 в каждом случае. Другими словами

0,147 = 0,7 × 0,7 × 0,3

Или, используя экспоненты:

= 0,7 ² × 0,3 ¹

0,7 — это вероятность каждого выбора, который мы хотим, назовем это p

2 — это количество вариантов, которое мы хотим, назовем его k

А у нас (пока):

= p ^k × 0.3 ¹

0,3 — вероятность противоположного выбора, так что это: 1 − p

1 — это количество противоположных вариантов, так что это: n − k

Что дает нам:

= p ^k (1-p) ^(n-k)

Где

• p — вероятность каждого выбора, который мы хотим
• k — желаемое количество вариантов
• n — общее количество вариантов

Пример: (продолжение)

• р = 0.7 (шанс курицы)
• k = 2 (выбор курицы)
• n = 3 (всего вариантов)

Получаем:

p ^k (1-p) ^(n-k) = 0,7 ² (1-0,7) ^(3-2)

= 0,7 ² (0,3) ⁽¹⁾

= 0,7 × 0,7 × 0,3

= 0,147

, что у нас было раньше, но теперь используется формула

Теперь мы знаем, что вероятность каждого исхода равна 0,147

Но мы должны указать, что существует три таких способов: (курица, курица, другое) или (курица, другое, курица) или (другое, курица, курица)

Пример: (продолжение)

Общее количество исходов «два цыпленка»:

н! к! (Н-к)! = 3! 2! (3-2)!

= 3 × 2 × 1 2 × 1 × 1

= 3

И получаем:

Количество желаемых результатов		Вероятность каждого исхода
3	×	0.147	=	0,441

Таким образом, вероятность события «2 человека из 3 выбирают курицу» = 0,441

ОК. Это был большой труд для того, что мы уже знали, но теперь у нас есть формула, которую мы можем использовать для более сложных вопросов.

Пример: Сэм говорит: «70% выбирают курицу, поэтому 7 из следующих 10 клиентов должны выбрать курицу» … каковы шансы, что Сэм прав?

Итак имеем:

И получаем:

п ^к (1-р) ^(н-к) = 0.7 ⁷ (1-0,7) ^(10-7)

= 0,7 ⁷ (0,3) ⁽³⁾

= 0,0022235661

Это вероятность каждого исхода.

И общее количество этих исходов:

н! к! (Н-к)! = 10! 7! (10-7)!

= 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1

= 10 × 9 × 8 3 × 2 × 1

= 120

И получаем:

Количество желаемых результатов		Вероятность каждого исхода
120	×	0.0022235661	=	0,266827932

Таким образом, вероятность того, что 7 из 10 выберут курицу, составляет всего около 27%

Мораль истории: даже при том, что долгосрочное среднее значение составляет 70%, не ожидайте 7 из следующих 10.

Собираем вместе

Теперь мы знаем, как вычислить , сколько :

н! к! (Н-к)!

И вероятность каждого :

п ^к (1-р) ^(н-к)

При умножении получаем:

Вероятность k из n способов:

П (k из n) = n! к! (Н-к)! п ^к (1-р) ^(н-к)

Общая формула биномиальной вероятности

Важные примечания:

• Испытания независимые,
• В каждом испытании есть только два возможных исхода,
• Вероятность «успеха» в каждом испытании постоянна.

Quincunx

Поиграйте с Quincunx (затем прочтите Quincunx Explained), чтобы увидеть биномиальное распределение в действии.

Брось кубик

Честный кубик бросается четыре раза. Рассчитайте вероятности получения:

• 0 двоек
• 1 Два
• 2 двойки
• 3 двойки
• 4 двойки

В данном случае n = 4 , p = P (Два) = 1/6

X — это случайная переменная «Количество двоек из четырех бросков».

Подставьте x = от 0 до 4 в формулу:

P (k из n) = n! к! (Н-к)! п ^к (1-р) ^(н-к)

Вот так (до 4 знаков после запятой):

• P (X = 0) = 4! 0! 4! × (1/6) ⁰ (5/6) ⁴ = 1 × 1 × (5/6) ⁴ = 0,4823
• P (X = 1) = 4! 1! 3! × (1/6) ¹ (5/6) ³ = 4 × (1/6) × (5/6) ³ = 0.3858
• P (X = 2) = 4! 2! 2! × (1/6) ² (5/6) ² = 6 × (1/6) ² × (5/6) ² = 0,1157
• P (X = 3) = 4! 3! 1! × (1/6) ³ (5/6) ¹ = 4 × (1/6) ³ × (5/6) = 0,0154
• P (X = 4) = 4! 4! 0! × (1/6) ⁴ (5/6) ⁰ = 1 × (1/6) ⁴ × 1 = 0,0008

Резюме: «для 4 бросков существует 48% вероятность отсутствия двоек, 39% вероятность 1 два, 12% вероятность 2 двоек, 1.5% шанс выпадения 3 двоек и крошечный 0,08% шанс того, что все броски будут двойками (но это все еще может случиться!) »

На этот раз график несимметричный:

Это несимметрично!

Перекошено, потому что p не равно 0,5

Спортивные велосипеды

Ваша компания занимается производством спортивных мотоциклов. 90% проходят окончательную проверку (а 10% не проходят и требуют исправления).

Каково ожидаемое среднее значение и отклонение от 4 следующих проверок?

Сначала посчитаем все вероятности.

X — случайная переменная «Число проходов из четырех проверок».

Подставьте x = от 0 до 4 в формулу:

P (k из n) = n! к! (Н-к)! п ^к (1-р) ^(н-к)

Как это:

• P (X = 0) = 4! 0! 4! × 0,9 ⁰ 0,1 ⁴ = 1 × 1 × 0,0001 = 0,0001
• P (X = 1) = 4! 1! 3! × 0,9 ¹ 0.1 ³ = 4 × 0,9 × 0,001 = 0,0036
• P (X = 2) = 4! 2! 2! × 0,9 ² 0,1 ² = 6 × 0,81 × 0,01 = 0,0486
• P (X = 3) = 4! 3! 1! × 0,9 ³ 0,1 ¹ = 4 × 0,729 × 0,1 = 0,2916
• P (X = 4) = 4! 4! 0! × 0,9 ⁴ 0,1 ⁰ = 1 × 0,6561 × 1 = 0,6561

Резюме: «для следующих 4 байков есть крошечный 0.Вероятность отсутствия передач 01%, вероятность отсутствия пасов 0,36%, вероятность 2 передач 5%, вероятность 3 передач 29% и колоссальная вероятность 66%, что все они пройдут проверку «.

Среднее значение, дисперсия и стандартное отклонение

Рассчитаем среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение для проверок спортивных велосипедов.

Для них существуют (относительно) простые формулы. Их немного сложно доказать, но они работают!

Среднее или «ожидаемое значение»:

мк = np

Для спортивных мотоциклов:

μ = 4 × 0.9 = 3,6

Таким образом, можно ожидать, что 3,6 мотоцикла (из 4) пройдут техосмотр.
Действительно имеет смысл … 0,9 шанс для каждого велосипеда умножить на 4 велосипеда равняется 3,6

Формула дисперсии:

Отклонение: σ ² = np (1-p)

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:

.

σ = √ (np (1-p))

Для спортивных мотоциклов:

Разница: σ ² = 4 × 0,9 × 0,1 = 0,36

Стандартное отклонение:

σ = √ (0.36) = 0,6

Примечание: мы также можем вычислить их вручную, составив такую ​​таблицу:

X	P (X)	X × P (X)	X 2 × P (X)
0	0,0001	0	0
1	0.0036	0,0036	0,0036
2	0,0486	0,0972	0,1944
3	0,2916	0,8748	2,6244
4	0,6561	2,6244	10,4976
	СУММА:	3.6	13,32

Среднее значение — это Сумма (X × P (X)) :

мк = 3,6

Дисперсия — это Сумма (X ² × P (X)) минус Среднее ² :

Разница: σ ² = 13,32 — 3,6 ² = 0,36

Стандартное отклонение:

σ = √ (0,36) = 0,6

И мы получили те же результаты, что и раньше (ура!)

Сводка

Определение, формула и практический пример

Что такое комбинация?

Комбинация — это математический метод, который определяет количество возможных расположений в коллекции элементов, где порядок выбора не имеет значения.В комбинациях вы можете выбирать элементы в любом порядке.

Комбинации можно спутать с перестановками. Однако в перестановках важен порядок выбранных элементов. Например, компоновки ab и ba равны в комбинациях (рассматриваемых как одна компоновка), в то время как в перестановках компоновки различаются.

Комбинации изучаются в комбинаторике, но также используются в различных дисциплинах, включая математику и финансы.

Формула для комбинирования

Математически формула для определения количества возможных комбинаций путем выбора только нескольких объектов из набора без повторения выражается следующим образом:

Где:

• n — общее количество элементов в наборе
• k — количество выбранных объектов (порядок объектов не важен)
• ! — факториал

Факториал (помеченный как «!») — это произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных числу перед знаком факториала.Например, 3! = 1 x 2 x 3 = 6.

Обратите внимание, что приведенная выше формула может использоваться только в том случае, если объекты из набора выбраны без повторения.

Пример комбинации

Вы являетесь управляющим портфелем в небольшом хедж-фонде Стратегии хедж-фонда Хедж-фонд — это инвестиционный фонд, созданный аккредитованными физическими лицами и институциональными инвесторами с целью максимизации прибыли и. Вы решили создать новый фонд, который будет привлекать рисковых инвесторов.Фонд будет включать акции Налог на прирост капитала Налог на прирост капитала — это налог, взимаемый с прироста капитала или прибыли, которую физическое лицо получает от продажи активов. Налог взимается только после того, как актив был конвертирован в наличные, а не тогда, когда он все еще находится в руках инвестора. быстрорастущих компаний с высоким потенциалом роста. Ваша команда аналитиков определила акции 20 компаний, соответствующих вашему профилю.

Поскольку это новый фонд, вы решили включить пять акций с равным весом в первоначальный портфель, а через год вы проанализируете эффективность портфеля и добавите новые акции, если фонд будет успешным.В настоящее время вы хотите определить количество возможных портфелей, которые вы можете создать из акций, определенных вашими аналитиками.

Принятие инвестиционного решения является примером проблемы объединения. Поскольку вы собираетесь разработать портфель, в котором все акции будут иметь одинаковый вес, порядок выбранных акций не влияет на портфель. Например, портфели ABC и CBA будут равны друг другу из-за схожего веса (по 33,3% каждый) каждой акции.

Таким образом, вы можете использовать формулу комбинирования для расчета количества возможных договоренностей:

Существует 15 504 возможных портфеля из пяти акций, которые можно создать из 20 акций, включенных в короткий список.

Дополнительные ресурсы

CFI предлагает аналитика финансового моделирования и оценки (FMVA) ™ Стать сертифицированным аналитиком финансового моделирования и оценки (FMVA) ® Сертификат CFI по анализу финансового моделирования и оценки (FMVA) ® поможет вам обрести уверенность в себе. необходимость в вашей финансовой карьере. Запишитесь сегодня! программа сертификации для тех, кто хочет вывести свою карьеру на новый уровень. Чтобы продолжать учиться и продвигаться по карьерной лестнице, вам будут полезны следующие ресурсы CFI:

• Инвестирование: руководство для начинающих Инвестирование: руководство для начинающих Руководство CFI по инвестициям для начинающих научит вас основам инвестирования и научит их начинать.Узнайте о различных стратегиях и методах торговли.
• Маржинальная торговля Маржинальная торговля Маржинальная торговля — это заимствование средств у брокера с целью инвестирования в финансовые ценные бумаги. Приобретенные акции служат залогом по ссуде. Основная причина заимствования денег — получение большего капитала для инвестирования
• Начальная цена Страйк-цена Страйк-цена — это цена, по которой держатель опциона может реализовать опцион на покупку или продажу базовой ценной бумаги, в зависимости от
• Типы рынков — Дилеры, брокеры, биржи Типы рынков — дилеры, брокеры, биржи Рынки включают брокеров, дилеров и биржи.Каждый рынок работает с разными торговыми механизмами, которые влияют на ликвидность и контроль. Различные типы рынков допускают разные торговые характеристики, описанные в этом руководстве.

Как рассчитать вероятность комбинаций — Видео и стенограмма урока

Формула комбинаций

Глядя на уравнение для вычисления комбинаций, вы можете видеть, что факториалы используются во всей формуле. Помните, что формула для расчета комбинаций: n C r = n ! / r ! * ( n — r ) !, где n представляет количество элементов, а r представляет количество элементов, выбираемых за раз.Давайте посмотрим на примере, как рассчитать комбинацию.

На этой неделе вы можете взять напрокат десять новых фильмов на DVD. Джон хочет выбрать три фильма для просмотра в эти выходные. Сколько комбинаций фильмов он может выбрать?

В этой задаче Джон выбирает три фильма из десяти новых выпусков. 10 будет представлять переменную n , а 3 будет представлять переменную r . Итак, наше уравнение будет выглядеть так: 10C3 = 10! / 3! * (10 — 3) !.

Первый шаг, который необходимо сделать, — это вычесть 10 минус 3 в нижней части этого уравнения.10 — 3 = 7, поэтому наше уравнение выглядит как 10! / 3! * 7 !.

Затем нам нужно развернуть каждый из наших факториалов. 10! будет равно 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 сверху и 3! * 7! будет 3 * 2 * 1 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1. Самый простой способ решить эту проблему — исключить подобные термины. Мы видим, что есть 7, 6, 5, 4, 3, 2 и 1 как сверху, так и снизу нашего уравнения. Эти условия могут быть отменены. Теперь мы видим, что в нашем уравнении 10 * 9 * 8 слева вверху и 3 * 2 * 1 слева внизу.Отсюда мы можем просто размножаться. 10 * 9 * 8 = 720 и 3 * 2 * 1 = 6. Итак, наше уравнение теперь 720/6.

Чтобы закончить эту задачу, мы разделим 720 на 6 и получим 120. Теперь Джон знает, что на этой неделе он мог выбрать 120 различных комбинаций новых фильмов.

Вероятность

Для расчета вероятности наступления события воспользуемся формулой: количество благоприятных исходов / количество общих исходов.

Давайте рассмотрим пример того, как рассчитать вероятность наступления события.На кассе в магазине DVD Джон также купил пакет жевательных резинок. В мешочке жевательных резинок было пять красных, три зеленых, четыре белых и восемь желтых жевательных резинок. Какова вероятность того, что Джон, нарисовавший наугад, выберет желтую жевательную резинку?

Джон знает, что если сложить все жевательные резинки вместе, в сумке окажется 20 жевательных шариков. Итак, общее количество исходов равно 20. Джону также известно, что существует восемь желтых жевательных резинок, которые представляют количество благоприятных исходов.Таким образом, вероятность случайного выбора желтой жевательной резинки из мешочка равна 8 из 20.

Однако все дроби должны быть упрощены. Итак, и 8, и 20 делятся на 4. Итак, 8/20 уменьшится до 2/5. Джон знает, что вероятность того, что он выберет желтую жевательную резинку из мешка наугад, составляет 2/5.

Вероятность комбинаций

Чтобы подсчитать общее количество исходов и благоприятных исходов, вам может потребоваться вычислить комбинацию. Помните, что комбинация — это способ расчета событий, порядок которых не имеет значения.

Рассмотрим пример. Чтобы насладиться своими фильмами, Джон решает заказать пиццу. Глядя на меню, Джон видит, что Король пиццы предлагает восемь разных начинок (четыре мяса и четыре овоща). Начинки: пепперони, ветчина, бекон, колбаса, перец, грибы, лук и оливки. У Джона есть купон на пиццу с 3 начинками. Выбирая ингредиенты наугад, какова вероятность того, что Джон выберет пиццу только с мясом?

Джон ищет вероятность выбора пиццы только с мясом.Для этого ему нужно будет подсчитать общее количество благоприятных исходов по всем возможным исходам. Давайте сначала посчитаем общее количество исходов. Чтобы рассчитать общие результаты, мы будем использовать формулу для комбинаций, потому что порядок начинки пиццы не имеет значения. Формула для комбинаций: n C r = n ! / r ! * ( n — r ) !, где n представляет количество элементов, а r представляет количество элементов, выбираемых за раз.

Джон выбирает три начинки из восьми, предложенных Pizza King. 8 будет представлять наш член n , а 3 будет представлять наш член r . Итак, наше уравнение будет иметь вид 8C3 = 8! / 3! * (8 — 3) !.

Чтобы решить это уравнение, нам нужно вычесть 8 — 3 = 5. Итак, наше уравнение теперь выглядит как 8! / 3! * 5 !. Затем нам нужно раскрыть каждый из этих факториалов. 8! будет равно 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1, деленное на 3! * 5 !, что равняется 3 * 2 * 1 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1.

Помните, чтобы упростить эту задачу, мы можем сократить одинаковые члены как в верхней, так и в нижней части этого уравнения. Мы видим, что есть 5, 4, 3, 2 и 1 как сверху, так и снизу. Эти условия могут быть отменены. Умножив сверху 8 * 7 * 6, получим 336. Внизу 3 * 2 * 1, что равно 6. Разделив 336 на 6, мы можем увидеть, что общее количество пицц, которые может заказать Джон, равно 56.

Теперь Джон должен найти количество благоприятных исходов. Джон хотел знать вероятность выбора пиццы только с мясом.Глядя на меню, мы видим, что есть четыре вида мяса на выбор, а Джон выбирает только три.

Это еще один пример проблемы комбинирования, потому что порядок, в котором выбираются мясные начинки, не имеет значения. Чтобы рассчитать количество благоприятных исходов, нам нужно использовать формулу комбинации n C r = n ! / r ! * ( n — r ) !, где n представляет количество элементов, а r представляет количество элементов, выбираемых за раз.

Поскольку существует четыре вида мяса, и Джон выбирает три, член n будет равен 4, а член r будет равен 3. Наше уравнение будет выглядеть так: 4C3 = 4! / 3! * (4 — 3) !. Затем нам нужно вычесть 4–3 снизу, что равно 1. Итак, наше уравнение теперь выглядит как 4! / 3! * 1 !.

Теперь давайте расширим верхнюю и нижнюю части нашего уравнения, чтобы найти общие члены, которые мы можем сократить. Развернув верх, мы получим 4 * 3 * 2 * 1, а нижний будет 3 * 2 * 1 * 1.Мы видим, что как сверху, так и снизу есть 3 * 2 * 1, которые можно отменить.

Джон теперь может видеть, что есть только четыре комбинации пиццы с 3 начинками, которые будут содержать только мясо. Для расчета вероятности Джону нужно будет использовать количество благоприятных исходов, равное 4, по сравнению с общим количеством исходов, равным 56. Вероятность будет 4/56, которую можно уменьшить до 1/14. Таким образом, вероятность того, что Джон выберет пиццу с 3 начинками, которая будет содержать только мясо, равна 1/14.