Для метрики: Attention Required! | Cloudflare

, где δ _ij — дельта Кронекера. Из приведенной выше формулы очевидно, что по сравнению с компонентом h ₀₀ (ньютоновский потенциал), члены h _{0 j} (перетаскивание кадра) труднее обнаружить, поскольку c заменяется на нерелятивистская скорость v _j , а h _ij (гравитационные волны) будет труднее всего обнаружить с c ² заменено на v i v _j .С другой стороны, ожидается, что высокое значение м (по сравнению с атомными массами) увеличит чувствительность ко всем членам, потенциально позволяя обнаруживать сигналы, которые в противном случае были бы слишком малы для видимости. Например, для аналогичных скоростей и времен (мы покажем, как этого добиться в следующих разделах), когда используются нанообъекты массой 10 ⁻¹⁷ кг, в конечный сигнал (Δ ϕ ) по сравнению с тяжелым атомом.

Здесь мы представим примерную форму для мезоскопического объектного интерферометра.Это предложение представляет собой модификацию ранее предложенных устройств для атомной и мезоскопической интерферометрии. Интерферометрия Штерна – Герлаха того типа, который мы предлагаем использовать, требует наличия спина, встроенного в нанокристалл. Это очень общее требование, и предложение не полагается на конкретный тип спиновой системы или кристаллического хозяина. Основное требование состоит в том, чтобы суперпозиция вложенных спиновых состояний оставалась когерентной на протяжении всего эксперимента, что является общим требованием в области квантовых вычислений со спиновыми кубитами.А пока рассмотрим мезоскопическую массу (кристалл нанометрового размера), содержащую вложенную степень свободы со спином 1 (три спиновых состояния | + 1⟩, | 0⟩, | −1⟩). Одним из примеров является кристалл алмаза нанометрового диаметра со спином центра азот-вакансия (NV), который обычно рассматривается как многообещающий кандидат для подобных экспериментов [10, 12, 54, 55]. Другой пример — спин примеси редкоземельного элемента в кристалле [56, 57]. Масса первоначально оптически захватывается, заряжается нейтрально [58] и быстро охлаждается [59–63].Затем внутреннее спиновое состояние инициализируется приложением внезапного микроволнового импульса в суперпозиции собственных состояний спина. В этот момент ( t = 0) масса высвобождается из ловушки в движущемся волновом пакете | ψ (0) центрировано по скорости с вышеупомянутой внутренней суперпозицией спинов. Наличие градиента магнитного поля (∂ _x B ) в направлении x вызывает ускорение в состоянии спина | + 1⟩.Рассматриваемый здесь источник градиента магнитного поля состоит из множества плоских углеродных нанотрубок, расположенных, как показано в подробном вырезе на рис. 1. Для обеспечения равномерного градиента магнитного поля ток через провод можно включать только тогда, когда он напрямую подключен. над частицей. Это действует, чтобы генерировать требуемую пространственную суперпозицию, а также связывать спиновые и двигательные состояния. Ускорение ненулевой компоненты спина меняется на противоположное в момент времени t = τ ₁ и снова при t = τ ₂ = 3 τ ₁ путем обращения состояния вращения, в то время как величина ускорения поддерживается так, что в любой момент времени t , объединенное состояние вращения и движения равно, где σ представляет ненулевое состояние вращения.Эта процедура приведет к максимальному пространственному расстоянию суперпозиции Δ x , имеющему место в момент времени t = 2 τ ₁ , при котором центры пространственных состояний | ψ ₀ (2 τ ₁ )⟩ и | ψ _σ (2 τ ₁ )⟩ разделены символом. Затем они собираются вместе так, чтобы их двигательные состояния точно перекрывались в момент времени t = τ ₃ = 4 τ ₁ , т.е.е., | ψ ₀ (4 τ ₁ )⟩ = | ψ _σ (4 τ ₁ )⟩.

Увеличить Уменьшить Сбросить размер изображения

Рис. 1. Схема пути интерферометра , показывающая путь вращения, обозначенный синим пунктиром, и путь вращения, отмеченный оранжевым. Источник магнитного поля (толстая черная линия) может иметь форму, которая следит за траекторией, отличной от нуля спина, так что он может обеспечивать большой градиент магнитного поля без необходимости в чрезвычайно большом магнитном поле.На разрезе показано, как это может быть получено с помощью множества плоских токоведущих проводов, расположенных так, чтобы приблизиться к идеальной изогнутой форме для источника магнитного поля. Пропуская ток через каждую пару проводов в одном направлении, только когда частица находится непосредственно под ней, мы можем гарантировать, что частица испытывает приблизительно однородный градиент магнитного поля только в желаемом направлении. Максимальное наложение достигается на полпути в процессе интерферометрии. Вертикальные пунктирные линии показывают положение, когда происходит изменение направления ускорения.Круглый вырез показывает детали того, как на самом деле может быть реализован источник магнитного поля, когда несколько отдельных плоских токоведущих проводов включаются последовательно. Обратите внимание на необычную ориентацию оси с вертикальной осью x , представляющей расстояние пространственной суперпозиции.

Загрузить рисунок:

Эта интерферометрия, связанная со спиновым движением, имеет два поразительных следствия [18]: (i) Относительная фаза Δ ϕ между интерферометрическими плечами отображается на спиновое состояние в форме, так что ее можно измерить путем измерения спина государство в одиночку.Например, измеряя вероятность перехода состояния в состояние спина | 0⟩ после приложения третьего микроволнового импульса. (ii) Δ ϕ зависит исключительно от разницы между фазами, накопленными на интерферометрических путях, и совершенно не зависит от | ψ (0)⟩ делает интерферометрический сигнал незатронутым начальным смешанным тепловым состоянием или другим шумом (например, сейсмическим), который возникает до инициализирующего микроволнового импульса, который всегда можно смоделировать как вероятностный выбор | ψ (0)⟩.Любая разность фаз будет обнаружена после измерений N .

Таким образом, весь интерферометрический процесс приведет к тому, что состояние частицы будет развиваться примерно как

Вот исходное пространственное состояние частицы, если бы она могла свободно развиваться и оценивалась в момент времени t , и это массовое состояние в плеча интерферометра с нулевым спином и ненулевое плечо соответственно и являются соответствующими состояниями спина. Это приближение эволюции, предпринимаемой частицей, при этом каждый эффект считается ступенчатым.Состояние градиента магнитного поля создает и рекомбинирует пространственную суперпозицию, микроволновые импульсы создают и рекомбинируют спиновые суперпозиции. Особо следует отметить, что начальное состояние массовых факторов в конечном результате будет тривиально сохраняться в целом, даже если более сложные состояния, например тепловые состояния, используются в качестве начального состояния.

Эта интерферометрическая система представляет собой асимметричную модификацию предложенной Ван и др. [18]. Более подробное обсуждение требуемых параметров, необходимых для реализации наиболее чувствительной и амбициозной формы интерферометра, который мы предлагаем, можно увидеть в разделе 8.

Чтобы определить, какие компоненты метрического возмущения h _μν являются наблюдаемыми, мы расширяем действие, S , до второго порядка по производным от h _μν в предположении статичности во времени и пространственно медленно меняющаяся метрика. В частности, возьмем

Для ясности теперь будем писать h _μν (0, 0, 0) как h _μν . Это дает разницу в действии между двумя интерферометрическими путями из-за различных компонентов h _μν ( μ , ν = 0, x , y , z ) как

Уравнения, представленные здесь, разделены таким образом, что после усечения они соответствуют эффектам ньютоновского потенциала (уравнение (5)), перетаскивания кадра (уравнение (6)) и гравитационных волн (уравнение (7)).Здесь мы отмечаем, что примерный интерферометр может непосредственно обнаруживать определенные компоненты возмущения метрики. В частности, термин h _xx и, поскольку вращение устройства эквивалентно изменению маркировки пространственного направления, пространственных компонентов метрики в целом. Кроме того, поскольку действие напрямую зависит от вторых производных от h _μν , такое устройство также будет чувствительно к локальной кривизне пространства-времени ⁵ .Это позволяет экспериментатору просто идентифицировать определенные компоненты тензора Римана R _μνσν в приведенных выше уравнениях почленно, поэтому мы считаем интерферометр непосредственно чувствительным к кривизне пространства-времени. Роль асимметрии в интерферометре теперь также можно увидеть из 7, учитывая зависимость членов второго порядка, асимметрия необходима для создания разности действий между плечами. Например, если бы использовался симметричный интерферометр, принимая начальное состояние спина, то оба плеча содержали бы одну и ту же зависимую фазу, как показано в уравнении (7).Они уравняются в окончательной разности фаз, в результате чего интерферометр больше не будет чувствителен к ГВ.

В следующих разделах мы исследуем основные экспериментальные соображения по обнаружению ньютоновской гравитации и связанной с ней кривизны (раздел 5), эффектов перетаскивания кадра (раздел 6) и гравитационных волн (раздел 7). Мы представляем точную форму, которую будут принимать сигналы, обсуждаем их предсказанные амплитуды, чтобы понять, насколько хорошо они могут быть обнаружены, а в случае ньютоновского потенциала мы также исследуем и охарактеризуем множество различных источников, которые могут генерировать сигнал.

Рассматривая только первый член не Минковского в 2, мы можем сделать стандартную замену для ньютоновского потенциала, h ₀₀ = 2 MG / c ² R . Мы определяем вертикаль как ось x , эксперимент проводится на уровне земли, поэтому R — это радиус Земли, а M — масса Земли, разница в действии между двумя рукавами до второго. порядок в

Это согласуется с представлением о том, что любое обнаружение кривизны будет иметь форму U ( L / R ) ² , где U — гравитационный потенциал, а L — характеристика лабораторная длина (в приведенном выше случае) [65].Несмотря на это квадратичное подавление, его все же можно обнаружить из-за фактора разности фаз 1/ ℏ . Таким образом, мы можем ожидать наблюдать даже эффекты второго порядка (эффекты кривизны) в виде больших фазовых сдвигов. На рисунке 2 показано, как эти результаты масштабируются с массой объекта в интерферометре, предполагая максимально допустимое значение пространственного разделения (). Из рисунка 2 видно, что масса 10 ⁻¹⁶ кг в интерферометре ∼1 мм со временем интегрирования τ ₁ ∼ 100 мс дает определение ускорения с чувствительностью до ∼5 × 10 ⁻¹⁵ мс ⁻² Гц ^−1/2 .Этот результат относится к случаю отправки одной частицы через интерферометр за раз и, как таковой, представляет собой нижнюю границу чувствительности такого детектора. Это выгодно отличается от недавней работы, демонстрирующей прямое обнаружение метрической кривизны испытательной массы с чувствительностью 5 × 10 ⁻⁹ мс ⁻² Гц ^−1/2 [29].

Увеличить Уменьшить Сбросить размер изображения

Рисунок 2. Ньютоновский потенциал и масштабирование разности фаз смещения кадра с учетом массы объектов для максимального размера и времени интерферометра Δ x = 1 мм и τ ₁ = 100 мс соответственно с v _y = 10 мс ⁻¹ . По мере увеличения массы m фазовое изменение увеличивается, и его можно поддерживать на самом высоком значении, если оставить больше времени τ ₁ . Однако оптимальная точка достигается примерно через м = 10 ⁻¹⁶ кг, после чего Δ x , полученное с максимальным значением τ ₁ , начинает уменьшаться обратно пропорционально массе даже для фиксированного максимально возможного значения магнитных полей (10 ⁶ Тм ⁻¹ ).

Загрузить рисунок:

Этот детектор может также использоваться для обнаружения меньших масс и более локальных сигналов. Например, масса M на расстоянии R , которая дает обнаруживаемый фазовый сдвиг по сравнению с тем, что ее нет, фактически она перестает существовать, задается

, который предлагает спецификации интерферометра, используемые для рисунка 2, при На расстоянии 1 км можно обнаружить массу около 4 кг при условии, что масса переместилась с очень большого расстояния на этот диапазон 1 км или путем изменения ориентации интерферометра относительно массы.С другой стороны, все стационарные массы, естественно присутствующие вокруг интерферометра, не будут действовать как шум при обнаружении других сигналов, поскольку они будут обеспечивать постоянную разность фаз между плечами для фиксированной ориентации интерферометра.

Мы также можем рассмотреть возможность обнаружения движения массы. Считая движение достаточно медленным, чтобы фаза интерферометра могла быть найдена для массы M на R , прежде чем он переместится на расстояние d и снова обнаружен.Тогда минимальное обнаруживаемое движение будет

, где предполагалось, что d ≪ R . Например, предыдущий M = масса 4 кг на расстоянии R = 100 м приведет к заметному изменению фазы, если он переместится на d ≈ 0,5 м или более. Это может действовать как источник шума при поиске других сигналов, это будет обсуждаться ниже в разделе 8.

Для исследования обнаружения перетаскивания кадра была рассмотрена метрика «перетаскивание кадра», приведенная в [66].Записано сферически с азимутальным углом ψ и полярным углом θ :

, где

, где приближение биномиального расширения использовалось для нахождения в линеаризованном пределе, и Ω = 2 MGν / c ² R — это масштабированная угловая скорость центральной вращающейся массы, где снова M — масса Земли, R — ее радиус и ν — ее угловая скорость. Соответствующий компонент 12 — это поперечный член d ψ d t .

Предполагается, что устройство выровнено параллельно экватору и поверхности Земли, и с учетом небольшого углового приближения в отношении углового расстояния, которое масса проходит вдоль интерферометра в направлении ‘ y ‘, измеренном от центра Земля. Определение M как массы Земли, R ее радиуса и ν ее угловой скорости дает разность фаз, снова во втором порядке в

Подставляя все известные константы, предполагая, что интерферометр расположен на поверхности Земли, дает как фазу первого порядка, зависящую от метрики, так и фазу второго порядка, зависящую от кривизны.Эти эффекты значительно скромнее, поэтому потребуются высокоточные измерения, особенно для измерения члена второго порядка. Такие измерения обеспечили бы независимую проверку результатов гравитационного зонда B [33]. На рисунке 2 также показаны фазы, обусловленные эффектами первого и второго порядка, независимо от массы объекта.

Наша установка также может извлекать фазу из поперечных бесследовых возмущений вокруг фона Минковского:

, где ψ ₀ — фаза ГВ на интерферометре при t = 0 в системе отсчета интерферометра.Мы предположили, что ГВ распространяется в направлении x ₃ = z перпендикулярно интерферометру с угловой частотой ω , и приняли два состояния спиральности ГВ как h ₊ , h . _× ≪ 1. Мы также игнорируем компонент кинетической энергии действия атомов, см. 2, поскольку он не имеет отношения к цели обнаружения фазы. Разность фаз, индуцированная ГВ, составляет

, где ψ ₀ — фаза волны при t = 2 τ ₁ , а приблизительная форма сохраняется при ωτ ₁ ≪ 1.Обратите внимание, что компонент h _× не записан в нашем интерферометре, поскольку он пропорционален v _x , который варьируется между положительными и отрицательными значениями, тем самым отменяя себя в отличие от h ₊ поскольку это функция. Повернутое устройство обнаруживает h _× .

Механизм, лежащий в основе этой разности фаз, в конечном итоге связан с взаимодействием частиц с локальными пространственно-временными параметрами (метрикой).Метрика — это то, на что будет непосредственно влиять ГВ, и это обнаруживается через фазовую эволюцию, заданную действием, см. 2. Обратите внимание, что наш прибор , а не , непосредственно определяет приливное ускорение частицы, вызванное ГВ. Фактически, это ничтожно мало по сравнению с градиентом магнитного поля, необходимым для интерферометрии. Он просто измеряет пространственное растяжение / сжатие, вызванное GW, таким же образом, как и постоянное изменение соответствующих компонентов метрики.Конечно, существует неизбежное изменение метрики во времени из-за GW, но мы не используем эту вариацию ⁶ — изменение метрики во времени происходит намного медленнее, чем индивидуальный прогон интерферометра для частот, наиболее часто используемых нашим детектором. Чувствительный к. По сути, интерферометр обнаруживает изменения фазы из-за статических метрических составляющих. Таким образом, правильная аналогия между лазерными интерферометрами и нашим интерферометром состоит в том, что масса — это замена фотонов.Оба они измеряют изменение пространственных расстояний из-за ГВ. Поскольку разница в длине пути ∼ ч ₊ L по существу измеряется в единицах длины волны де Бройля материальной волны, ∼10 ⁻¹⁷ м, L ∼ 1 м достаточно (обратите внимание в нашем случае L = Δ x ). Подчеркнем здесь, что следует , а не интерпретировать наш интерферометр как обнаруживающий приливное ускорение, заданное формулой h ₊ Lω ² , непосредственно действующей на массу.Это также напрямую ведет к тому, что чувствительность GW в нашем интерферометре масштабируется уникальным образом по сравнению с чувствительностью к ускорению. Рассмотрите возможность увеличения приложенного градиента магнитного поля, чтобы он оставался фиксированным, при уменьшении τ ₁ . Индуцированная ГВ разность фаз масштабируется, поскольку метрика ГВ связана со скоростью частицы ( S ∝ h _ij v ⁱ v ^j ), в то время как разность фаз, вызванная паразитным ускорением, масштабируется как.Таким образом, чувствительность GW может быть дополнительно увеличена при подавлении шумовых эффектов в нашем сигнале, что дает улучшенное соотношение сигнал / шум. Таким образом, наш интерферометр качественно сильно отличается от LIGO / LISA. Второе важное отличие между лазерными интерферометрами и MIMAC заключается в том, что нет обратного действия, и, как таковой, соответствующий стандартный квантовый предел не является ограничивающим фактором. Это потому, что измерение происходит только после того, как после интерферометрии, и положение также не измеряется, только конечное состояние вращения.Действительно, наш интерферометр наиболее близок по механизму к одноатомным интерферометрам, которые были предложены в качестве некоторых из первых схем атомной интерферометрии для обнаружения ГВ [39–41].

Эти два различия составляют основу потенциальных будущих преимуществ этого интерферометра перед лазерными интерферометрами, в которых стандартный квантовый предел и ньютоновский шум действуют как основные ограничения на чувствительность. Ни то, ни другое принципиально не ограничивает MIMAC или MIMAC-подобный интерферометр.

По сравнению с ранними атомными интерферометрами наше преимущество проистекает из гораздо большего размера м для наших интерферометров, поскольку наша методология Штерна-Герлаха (SG) открывает возможности для создания достаточно высоких Δ x , даже с увеличенным масса.Здесь мы должны отметить, что более продвинутые предложения от атомной интерферометрии, такие как атомный интерферометрический датчик GW (AGIS), обсуждаемые в [43], качественно сильно отличаются от нашей схемы. Таким образом, мы можем сравнивать только масштабы, но не механизм. Они генерируют разность фаз ∼10 ¹⁶ h ₊ для космического детектора [42] с размером базы L ∼ 10 ⁷ м по сравнению с нашей для размера базы 1 м, как показано на рисунке. 3.Опять же, поскольку механизм нашего предложения значительно отличается от AGIS и связанных схем, приведенное выше сравнение не отражает всей эффективности этих двух предложений.

Увеличить Уменьшить Сбросить размер изображения

Рис. 3. Сравнение чувствительности к деформации двух детекторов с разной массой, Δ x = 1 м ГВт. Пунктирная зеленая кривая соответствует наземному интерферометру массой 10 ⁻²⁵ кг, τ ₁ = 7.3 × 10 ⁻⁵ с и поток N = 10 ⁶ , взятый из [32] для атомов Rb ⁸⁷ , отсутствие предела чувствительности GGN можно объяснить чрезвычайно коротким интерферометрическим временем. уменьшение влияния ньютоновского потенциала на конечную разность фаз. Нижние оранжевые кривые относятся к массе 10 ⁻¹⁷ кг, τ ₁ ≈ 0,73 с и N = 400 для наземной (сплошной, включая GGN с соответствующей компенсацией) и космической (пунктирной) чувствительности. .Он также показывает снижение чувствительности к низкочастотной деформации из-за шума градиента силы тяжести.

Загрузить рисунок:

Из 18 видно, что выход фазы не будет зависеть от частоты ГВт при условии ωτ ₃ ∼ ωτ ₁ ≪ 1, хотя он будет ограничен шумом градиента силы тяжести на более низких частотах (см. Рисунок 3) . Именно в этом режиме наш интерферометр наиболее чувствителен к ГВ.Масштабируемость обнаруживаемости по частоте понимается из того, что она чувствительна к усредненной по времени амплитуде волны, которая стремится к нулю для более высоких частот. Таким образом, более высокочастотные GW могут быть обнаружены с помощью более коротких временных детекторов, как показано на рисунке 3, хотя и с более низкой чувствительностью, без увеличения градиента магнитного поля и массы. Обратите внимание, что мы определяем обнаруживаемую деформацию для N частиц, проходящих через интерферометр последовательно (и / или несколько интерферометров параллельно).Далее отметим, что около 10–10 ⁴ Гц LIGO уже работает [67], в то время как существуют необнаруженные источники более низких частот GW [68]. Наш интерферометр будет дополнять часть диапазона LISA [38] (10 ⁻⁶ –10 Гц) для подземной реализации или весь его диапазон для интерферометра космического базирования.

Несмотря на то, что предложенный нами датчик является амбициозным по своему охвату, не видно каких-либо фундаментальных или непреодолимых препятствий для его создания с использованием текущих и ближайших технологий.Кроме того, мы в первую очередь стремимся показать его «в принципе» выполнимость, представив примерную схему реализации интерферометра. В оставшейся части статьи мы опишем методы, которые можно использовать для создания такого интерферометра. Мы обсудим основные источники декогеренции, которые разрушают суперпозицию, а также рассмотрим основные источники шума в фазовом выходном сигнале. Это будет использоваться для ограничения допустимого шума и флуктуаций экспериментальных параметров, таких как флуктуации массы от одной частицы к другой и время.Помимо ограничений и методов, обсуждаемых ниже, создание этого интерферометра потребует дальнейшей работы, чтобы гарантировать отличное поверхностное завершение для уменьшения оборванных связей, подвижной развязки и метода создания луча летающего алмаза среди дальнейших экспериментальных достижений, над которыми работают продолжается [69] в относительно новой области интерферометрии больших масс.

Для реализации предложенного интерферометра используется градиент магнитного поля (∂ _x B ) для создания пространственной суперпозиции размера с a = g _NV μ _B ∂ _x B / м где g _NV — коэффициент Ланде g и μ _B — магнетон Бора [18].Чтобы интерферометрия больших масс имела преимущество перед атомами, Δ x должно сохраняться ~ 1 м даже при увеличении м . С этой целью, если мы хотим сохранить τ ₁ ≈ 0,73 с, что требуется для достижения нашей максимальной чувствительности ГВт (см. Рисунок 3), градиент магнитного поля, ∂ _x B из 10 ⁶ Тм ^-1 . Такой большой градиент магнитного поля можно создать с помощью токоведущего провода. Однако мы предлагаем использовать двойные воздушные провода.Это позволяет поддерживать более равномерный градиент магнитного поля при увеличении расстояния между интерферометрическими частицами и проводами, тем самым уменьшая паразитные силы. Эти провода должны быть расположены во многих небольших горизонтальных секциях так, чтобы они приблизительно следовали траектории плеча интерферометра с ненулевым спином, как показано на рисунке 1. Это позволяет ему всегда оставаться проксимально к плечу интерферометра с ненулевым спином, генерируя достаточно большой градиент магнитного поля, не требующий также неоправданно большого магнитного поля.Это требует большого тока, что потребует использования композитов углеродные нанотрубки-металл, которые могут поддерживать плотность тока до _I = 10 ¹³ Am ⁻² [70]. Амплитуда градиента магнитного поля от одиночного провода составляет

, где здесь D — расстояние между центром провода и точкой, в которой измеряется напряженность магнитного поля, — радиус провода, Λ — расстояние от поверхность проволоки и мы взяли ().Таким образом, первоочередной задачей для создания необходимых больших градиентов магнитного поля является стабильность тока и расстояние Λ, необходимое для устранения других взаимодействий, таких как потенциал пятна и взаимодействия Казимира, что важно, это расстояние просто устанавливает требуемую толщину, а не ограничивают теоретическую возможность достижения необходимого градиента магнитного поля. Для создания достаточно однородного градиента магнитного поля мы предлагаем использовать много небольших пар воздушных проводов, которые немного изменяют испытываемый градиент магнитного поля.Однако для ясности и поскольку это простое доказательство представленного аргумента концепции, более простая установка (с одним изогнутым проводом) будет подробно обсуждаться ниже в числовом отношении, сила градиента, шум и декогеренция фактически одинаковы.

8.1. Декогеренция

Основными источниками декогеренции для состояний пространственной суперпозиции будет рассеяние молекул воздуха и излучение черного тела, дающее информацию о том, «какой путь». Пространственная когерентность может предложить огромное окно при использовании низкого давления ∼10 ⁻¹⁴ Па (с более низким, достигнутым ранее в криогенно охлаждаемых системах [71]) и низкой внутренней температуре ∼50 мК.Это возможно, например, в холодильнике для разбавления [72] или с помощью лазерного охлаждения [62, 63]. Для массы ∼10 ⁻¹⁷ кг и радиуса 100 нм, используя результаты [73], рассчитанные скорости рассеяния составляют 0,006 Гц из-за рассеяния молекул воздуха и 0,06 Гц из-за эмиссии фотонов черного тела. Спиновая когерентность электронов при 10 мК также может достигать 1 с при динамической развязке [74, 75] (частично присутствующей здесь из-за импульсов переворота спина и в дальнейшем расширяемой путем подачи импульсов на спиновую ванну [76]).Масштаб рассматриваемых здесь суперпозиций согласуется со стохастической декогеренцией, вызванной ГВ, поскольку мы используем мезоскопические объекты [77].

Предлагаемая установка объединяет современные градиенты магнитного поля, давление и внутреннюю температуру, которые реализованы индивидуально. Отправка наноалмазов через низкое давление все еще находится в стадии разработки, так же как и сочетание свободного полета с криогеникой [72].

8.2. Гравитационные сигналы как шум

По своей конструкции наш интерферометрический сигнал зависит только от относительной фазы между двумя плечами и, таким образом, невосприимчив к тепловому и сейсмическому шуму в | ψ (0)⟩.Таким образом, для наиболее чувствительного предложенного интерферометра (для ГВ) фазы из-за увлечения кадра и источников типа ньютоновского потенциала (включая градиенты силы тяжести [78]) являются первичным шумом. Также могут быть другие источники шума из-за реализации, например частица-частица и частица-магнит Казимира, потенциал пятна и гравитационные взаимодействия.

Далее мы рассмотрим наиболее сложные для обнаружения сигналы (GW), для которых наивысшая чувствительность к деформации h ₊ ∼ 10 ⁻¹⁷ происходит для отдельных масс ∼10 ⁻¹⁷ кг, каждый раз пересекая интерферометр по одному.Мы можем растянуть это до ч ₊ ∼ 10 ⁻¹⁸ , учитывая N = 400 масс, проходящих через интерферометр последовательно в течение интерферометра ( τ ₃ ), одну за другой. Это может быть достигнуто путем последовательного охлаждения [59–63] и инжекции одной частицы каждые ∼10 мс. Затем это устанавливает мощность сигнала, все шумы должны быть сохранены ниже (мы обсудим ниже, как это можно встретить). Кроме того, для обнаружения низкочастотных ГВ, скажем, для ГВ с частотой ~ 10 мГц, можно сделать ~ 100 повторов этой интерференции в течение периода гравитационной волны.Это на порядок повысит чувствительность и выведет детектор в диапазон обнаружения массивных двойных систем на указанной выше частоте [79]. Можно еще больше повысить чувствительность еще в один раз, если параллельно использовать интерферометры. Это также соответствует наиболее амбициозной настройке датчика с массой м = 10 ⁻¹⁷ кг, время τ ₁ = 0,73 с, v _x = aτ ₁ = 1.35 мс ⁻¹ .

Во-первых, простой источник шума в любом сигнале, включая сигналы GW, возникает из-за колебаний параметров от одного запуска к другому. Имея это в виду, необходимо учитывать только наибольший фазовый эффект (ньютоновский потенциал), так как он максимально увеличивает любую неопределенность. Следует отметить, что, хотя это не сразу очевидно из 5 или 8, ньютоновская фаза первого порядка не зависит от массы частиц, это связано с обратным масштабированием размера суперпозиции с массой.Кроме того, эти шумы можно подавить, ориентируя интерферометр перпендикулярно градиенту ньютоновского потенциала (параллельно земле). Это дает фазовую неопределенность δϕ из-за массы ( δm ), расстояния ( δR ), размера наложения ( δ (Δ x )) и погрешности времени ( δτ ₁ ) приблизительно

, где α = 0, когда интерферометр точно перпендикулярен локальному ньютоновскому градиенту потенциала.Это было получено из уравнения (8), учитывающего вариации экспериментальных параметров и ориентирующего интерферометр относительно локального ньютоновского гравитационного потенциала. Учитывая, что неопределенность ориентации ⩽1 pRad поддается измерению [80], то есть достижима, колебания массы, расстояния, расстояния и времени должны быть ниже δm ⩽ 10 ⁻¹⁸ кг, δR ⩽ 0,1 м δ (Δ x ) ⩽ 10 нм и δτ ₁ ⩽ 1 нс соответственно, чтобы гарантировать, что δϕ удерживается ниже обнаруживаемого предела, то есть для обеспечения δϕ ⩽ 0.1. Изменениям в известных (систематических) фазах можно противодействовать путем тщательной характеристики параметров системы и / или модификаций интерферометрической установки.

Мы можем отметить, что некоторые шумы могут быть идентифицированы благодаря уникальным функциональным зависимостям (в частности, как они масштабируются с a , v _y и τ ₁ ) 5 идентифицированных сигналов (5 –7) отдельные типы сигналов могут быть идентифицированы по отдельности с помощью сети интерферометров, позволяющей отфильтровать от них сигнал.Особо следует отметить, что при установке v _y = 0, 6 становится равным нулю. Однако это ограничит возможность введения более одной частицы в интерферометр за раз, в результате чего чувствительность (и потолок шума) Δ ϕ = 1 для одного прогона одного интерферометра. Кроме того, можно активно подавлять некоторые внешние шумы. Сигналы первого порядка могут быть обнаружены и подавлены симметричным детектором (с использованием начальной суперпозиции спинов), нечувствительным к эффектам второго порядка и ГВ.Здесь под сигналами первого порядка мы имеем в виду члены в 5 и 6, которые являются функцией одной производной. Это можно сделать, поскольку это единственные члены, к которым чувствителен симметричный интерферометр (члены ∝ a ² отменяются при вычислении разности), поэтому эти шумы можно рассматривать как сигналы, которые можно вычесть из общий фазовый выход. Член ньютоновского потенциала второго порядка также можно аппроксимировать с помощью слегка смещенных симметричных интерферометров.Они снова будут нечувствительны к GW и приведут к тому, что в шуме останутся эффекты третьего порядка. Этот метод активной отмены также является приблизительным. Например, рассмотрим источник, расположенный на расстоянии R от первичного детектора, с вторичными симметричными интерферометрами, расположенными на расстоянии R ± с от источника. Сигнал на центральном асимметричном интерферометре будет примерно равным среднему значению сигнала на каждом симметричном интерферометре по обе стороны от него.Этот приблизительный сигнал можно использовать для подавления фазового шума, тем самым уменьшая его на коэффициент, который зависит от того, насколько близко приближение. Чтобы определить, мы можем расширить сигнал на порядок от центрального асимметричного интерферометра, давая

. Возьмем, к примеру, перемещение груза массой 1 кг на расстоянии 1 м от датчика и совмещенное с осью интерферометров x ( направление, в котором он чувствителен). Если мы рассматриваем первичный интерферометр как имеющий симметричный интерферометр над и под ним на расстоянии с = 1 см, то к 11 его перемещение должно быть меньше d = 10 ⁻¹⁰ м без какой-либо активной компенсации. однако с отменой это становится d = 10 ⁻⁵ м, все еще значимое, но гораздо менее сложное значение.

8.3. Шум гравитационного градиента

Далекие флуктуации ньютоновского потенциала известны как гравитационный градиентный шум (GGN) [81, 82]. Это, как известно, один из основных источников шума, который ограничивает обнаружение GW в современных антеннах GW, особенно на низких частотах. Шум гравитационного градиента возникает из-за сейсмических волн, вызывающих изменения в местном гравитационном поле. Эти сейсмические волны не столь драматичны, как землетрясения, а представляют собой стохастические флуктуации локальной плотности и поверхностные колебания окружающей почвы.Трудно сказать что-либо слишком конкретное об амплитудах градиента силы тяжести, поскольку они, как известно, сильно зависят от местоположения [83]. Мы будем внимательно следить за анализом, выполненным в [84, 85], в сочетании с измеренными ускорениями градиента силы тяжести [86, 87], а также рассмотрим, насколько хорошо мы можем надеяться на устранение таких эффектов.

Рассмотрим влияние колебания плотности атмосферы или земли Δ ρ некоторого объема V , где для примера наземных колебаний длины волны λ и высоты ξ , V = λ ² ξ , на некотором расстоянии r от нашего интерферометра.Это приведет к аномальному ускорению величиной

, где β и γ — полярные координаты возмущения с началом координат, расположенным в детекторе. Это было получено путем рассмотрения стандартной формулы для ускорения из-за ньютоновского гравитационного взаимодействия и того, что интерферометр чувствителен только в одном направлении. Таким образом, тригонометрические зависимости обусловлены направленной чувствительностью детектора. Чтобы упростить анализ, мы будем рассматривать все области колебаний как независимые и поэтому рассмотрим совместный эффект, добавив квадрат ускорения.Мы также рассмотрим минимальное расстояние, r ₀ , то есть наш интерферометр находится внутри полости, в которой нет флуктуаций плотности. Рассматривая первоначально интерферометр, расположенный на поверхности Земли, квадрат ожидаемого ускорения будет

. Теперь, если интерферометр расположен под землей на глубине d , это станет

, и поэтому мы можем оценить фазовый шум в нашем подземный датчик. Используя измеренные медианные результаты в [86, 87] для _{поверхности} = 3 × 10 ⁻¹¹ мс ⁻² для флуктуаций, происходящих на частоте 1 мГц, мы можем оценить подземный фазовый шум из-за стохастического варьирующееся местное ускорение, предполагая, что r ₀ = 1 м и d = 100 м как

, что явно весьма существенно.Также стоит отметить, что «тихие» (с низким уровнем шума GGN) участки могут иметь значения шума на два порядка меньше [84]. Также будут эффекты второго порядка (), когда местная гравитация изменяется в интерферометре, что будет примерно в несколько раз меньше для типичных флуктуационных длин волн λ = 1 км [83], что дает 1 мГц.

Однако они могут быть измерены и подавлены с использованием симметричных реализаций интерферометра, как обсуждалось выше, следовательно, фазовый шум будет тогда для с = 0.01 м, что достаточно для обнаружения в этом частотном спектре. Остается вопрос о вариациях фазы второго порядка (). Их можно точно так же аппроксимировать, на этот раз двумя симметричными интерферометрами, теперь разбросанными в направлении « x », и принимая разницу между ними, деленную на расстояние между ними. Поскольку два интерферометра должны быть разнесены дальше друг от друга, чтобы освободить место для исходного интерферометра, то прежде они будут точно измерять только линейное изменение g на интерферометре.Это предполагает, что ошибка фазы из-за GGN после использования обоих методов подавления будет фактически эффектом GGN третьего порядка, который будет еще меньше, чем эффект второго порядка, давая на частоте 1 мГц. Это все еще важно, и поэтому шум градиента силы тяжести создаст эффективный минимальный уровень шума для чувствительности нашего детектора. Чтобы определить, как это влияет на нашу чувствительность на других частотах, мы используем масштабирование, представленное в [84], для создания минимального уровня шума после подавления и, как обсуждалось выше, для всех соответствующих частот.Тогда результирующий сигнал GGN будет

для интерферометра м = 10 ⁻¹⁷ кг, использованного на рисунке 3, это также показывает, что оптимальная чувствительность здесь находится в диапазоне 0,04–3 Гц. Обратите внимание, что это также близко соответствует медианным спектрам GGN, приведенным в [86].

Это довольно грубая модель, рассматривающая одновременно земные и атмосферные колебания, предполагающая некоррелированные колебания и интегрирующая по каждой ячейке, а не суммирующая. Однако, поскольку мы используем фактические результаты измерений для , _{поверхности} и фактически касаемся только масштабирования с r и d , наша модель вряд ли сбивает нас с пути.Кроме того, мы используем измеренные медианные спектры GGN и поэтому, вероятно, переоцениваем шум, поскольку он фактически повлияет на наш интерферометр, поскольку мы предполагали, что он будет размещен в «тихом» месте с низким GGN. Кроме того, мы можем отметить, что такой метод измерения и подавления шума может быть применен к другим датчикам GW, потенциально расширяя наземные наблюдаемые частоты во всех датчиках GW.

8.4. Шум неопределенности Гейзенберга

Еще одним ключевым источником шума в стандартных детекторах GW является основной шум из-за предела неопределенности Гейзенберга.Для простоты мы будем считать, что масса находится в когерентном состоянии, насыщающем принцип неопределенности, то есть

, где предполагается, что частица выпущена из ловушки с частотой 100 кГц. Начиная с неопределенности положения, есть два возможных способа, которыми это может повлиять на окончательный результат, первый — это неопределенность в исходном положении, дающая

, где снова α — угол между осью интерферометра x и локальной плоскостью константы. Ньютоновский потенциал.Второй способ, при котором неопределенность положения из-за HUP может проявляться как шум, заключается в воздействии на перекрытие между частицами. Однако известно [18], что это не может повлиять на результат, поскольку разность фаз не зависит от исходного пространственного состояния.

Аналогичным образом мы можем рассмотреть, как неопределенность начального импульса HUP приводит к неопределенности фазы. Это дает

как таковое при условии, что α ≪ 10 ⁻⁵ , это тоже не проблема. Ожидается, что α ∼ 10 ⁻¹² [80], HUP не будет ограничивающим фактором.

8.5. Взаимодействия между частицами

Любые электростатические взаимодействия могут быть устранены, поскольку заряд частицы может быть измерен и изменен вплоть до одноэлектронного уровня [58]. Более касающимися взаимодействий будут взаимодействия частица-частица и частица-магнит. Взаимодействие частица-частица контролируется за счет обеспечения низкого потока частиц, где поток определяется как количество частиц, проходящих через интерферометр в секунду. Вносимая им фазовая неопределенность в первую очередь связана с взаимодействием Казимира между частицами.Однако его можно минимизировать, обеспечив достаточно большие v _y , например, с учетом эффективного потенциала Казимира ( U _C ) между двумя алмазными ( = 5,7) сферами с радиусом на расстоянии d , кроме

, тогда обеспечивалось v _y = 10 мс ⁻¹ , тогда поток N = 1000 приведет к фазовой неопределенности приблизительно 0,002 рад с фазовой чувствительностью к 0.03 уровень радиан. Когда v _y = 1 мс ⁻¹ , максимально допустимый поток составляет около Н = 90, что дает фазовую неопределенность приблизительно 0,05 рад с чувствительностью приблизительно 0,1 рад. С этой целью мы рассмотрели N = 400 с v _y = 10 мс ⁻¹ как достаточное, чтобы гарантировать, что взаимодействия частицы с частицами пренебрежимо малы, а также для повышения фазовой чувствительности, причем большие потоки дают фазовую чувствительность, которая скорее всего проиграет другим шумам, рассмотренным выше.Обратите внимание, что такие большие значения для v _y могут быть достигнуты для поляризуемой частицы (например, наноалмаза) с помощью быстрого ускорения в импульсном оптическом поле [88].

8.6. Колебания магнитного поля

Колебания магнитного поля и его градиента будут влиять на интерферометр по-разному: изменить Δ x , полностью остановить закрытие интерферометра и из-за флуктуаций фазы, связанных с вариациями потенциальной энергии магнитного поля.

Источником флуктуаций магнитного поля будут изменения тока через провод, принимающий I → I + δI . Такие колебания приведут к изменениям приложенного ускорения δa , заданного

. Теперь, если такие колебания происходят в промежутках времени, аналогичных полному интерферометрическому времени ( τ ₃ = 4 τ ₁ ), то они будут автоматически отменяется на переменное направление ускорения.Точно так же, если они возникают намного быстрее, чем снова, они в среднем отменяются на протяжении всего процесса интерферометрии. Таким образом, наиболее значительные колебания положения происходят, если знак δI меняется в разы t = τ ₁ , а затем снова на t = τ ₂ , предполагая характерный промежуток времени 2 τ ₁ так, что его вклад в ускорение никогда не отменяется. В этом случае у нас есть

, хотя, если несколько частиц проходят через интерферометр последовательно, то для более поздней частицы этот эффект будет меньше или полностью нейтрализован, что мы здесь не будем учитывать, чтобы не недооценивать шум.В контексте вариаций ньютоновского потенциала от одного цикла к другому мы обнаружили, что нам требуется δ (Δ x ) ⩽ 10 нм (см. Раздел 8.2), что с учетом максимального размера суперпозиции составляет Δ x = 1 м, устанавливает предел изменения тока δI = 10 ⁻⁸ I в масштабе времени 2 τ ₁ ≈ 1,5 с. Теперь, чтобы гарантировать, что это не будет превышено, экспериментаторам просто нужно будет контролировать ток с помощью амперметра, чтобы гарантировать, что дрейф остается ниже этого уровня.

Кроме того, мы можем учитывать колебания тока из-за тепловых эффектов в проводящем проводе, рассматривая шум Джонсона – Никвиста, который дает шум тока через провод, как

, где k _B — постоянная Больцмана, T — температура длины провода, Δ f ∼ 1 Гц — ширина полосы шума, а кОм — сопротивление провода [89]. Это дает токовый шум δI ∼ 10 ⁻¹² A, если провод поддерживается при комнатной температуре.Это, вероятно, будет намного ниже требуемого минимального уровня шума, даже если провод нагревается намного выше комнатной температуры.

Это также приведет к перекрытию частиц только до границы, приблизительно заданной. Однако, используя результаты, полученные ниже, мы можем заключить, что m намного ниже предполагаемого разброса волнового пакета из-за неопределенности Гейзенберга σ _x ∼ 10 ⁻¹¹ м и поэтому не представляет серьезного беспокойства.

Наконец, мы можем рассмотреть флуктуацию фазы из-за связи магнитного поля.Эта фаза из-за связи между электронным спином и выровненным магнитным полем задается формулой

, где e и m _e — заряд и масса электрона, г, ≈ 2 — гиромагнитное отношение и S — спиновый угловой момент. Теперь, когда состояние спина меняется на противоположное по всему интерферометру, полная фаза будет эффективно раскручиваться, вплоть до стабильности как средней напряженности магнитного поля, так и точности синхронизации.Таким образом, разность фаз будет зависеть от некоторых стохастических флуктуаций, заданных формулой

. Теперь первое слагаемое подразумевает ограничение на расстояние между центром провода и частицей D ⩾ 1 μ м, а второе слагаемое подразумевает ограничение временной неопределенности δt ≪ 10 ¹⁷ D м ⁻¹ с. Итак, принимая D = 2 × 10 ⁻⁵ м, таким образом, требуется ток I ≈ 2000 A и величина магнитного поля B = 40 T, временная неопределенность δt ⩽ 10 ⁻¹³ с.Это, безусловно, трудное требование, но не кажется совершенно необоснованным, учитывая историческое достижение пикосекундных (10 ⁻¹² с) таймингов с микроволновыми лазерами [90] с фемтосекундами, которые также были достигнуты совсем недавно [91].

Каждая небольшая секция пары токоведущих проводов должна управляться независимо и, таким образом, будет иметь независимый ток, стохастически колеблющийся около заданного значения I . Следовательно, нет независимого шума на частотах ниже той, которая соответствует времени, в течение которого каждая пара проводов управляет шумом частиц, на таких частотах, по существу, соответствует сумме шумов от блоков последовательных проводов.Таким образом, нам не нужно рассматривать их отдельно; достаточно учитывать шум на частоте, соответствующей времени, когда каждая пара проводов управляет частицей. В этом случае пара проводов управляет движением частицы обычно для t _{провода} = 7 μ с, чтобы гарантировать, что частица видит однородный линейный градиент магнитного поля на протяжении всего процесса интерферометрии. Это соответствует частоте шума f _провод ∼ 1,4 × 10 ⁵ Гц.За общее время эксперимента ∼1 с накопленная неопределенная часть зеемановской фазы будет фазой суммативного случайного блуждания. Здесь каждый интервал провода отвечает за шаг в случайном блуждании. Чтобы этим можно было пренебречь, мы требуем, чтобы случайная часть величины магнитного поля на частоте f _провод была нТл (в качестве альтернативы, достаточно просто отслеживать флуктуации магнитного поля с такой точностью). Это соответствует погрешности тока δI ( f _провод ) <20 μ A на частоте f _провод .Для частот f > f _провод , ограничение на nT будет только легче удовлетворить. Кроме того, флуктуация градиента также вызовет неопределенность в положении частицы

, которая, требуя, ограничивает высокочастотные (МГц) флуктуации магнитного поля от δI до δI ≪ 20 A. Это может быть экстраполировано на дают общую границу, зависящую от частоты

8.7. Взаимодействие Казимира между частицей и магнитом

Мы представили возможность использования интерферометрии мезоскопических объектов (например, объектов массой ∼10 ⁻¹⁷ кг) для обнаружения производных как первого, так и второго порядка от метрики пространства-времени в компактном настраивать.Мы обнаружили, что для мезоскопических масс такая интерферометрия чувствительна не только к ньютоновскому потенциалу, увлечению кадра Земли, но и к чрезвычайно слабым сигналам, таким как среднечастотные GW для наземного детектора и низкочастотные GW для космического детектора. Мы представили примерную форму такого мезоскопического массового интерферометра и представили ожидаемую чувствительность для нашего устройства. При разработке нашего примера детектора мы определили требования, которые должны быть выполнены, чтобы уменьшить известные источники шума, такие как GGN, принцип неопределенности, взаимодействия Казимира и патч-потенциал.Принцип SG конкретной конструкции интерферометра подразумевает, что просто изменяя ориентацию магнита, весь интерферометр переориентируется как для определения углового происхождения источников, так и для связи с различными компонентами метрического тензора. Кроме того, способ накопления разности фаз из-за ньютоновского потенциала и сигналов GW масштабируется с экспериментальными параметрами a и τ ₁ указывает на важное и фундаментальное различие между интерферометрами этого типа и световыми интерферометрами.Это различие дает возможность еще больше повысить чувствительность GW при одновременном уменьшении многих источников шума, включая GGN. Компактность означает, что все чувствительные к GW интерферометры могут быть помещены в единую виброизолирующую платформу [67], а большие сети интерферометров могут быть построены для идентификации и подавления шума. Менее требовательные значения и времена когерентности достаточны для обнаружения менее требовательных компонентов, таких как h ₀₀ или для акселерометрии (например, τ ₁ ∼ 70 мс, 10 ⁻¹⁸ кгс и Δ x = 1 мм уже может обнаруживать как ньютоновскую кривизну, так и перетаскивание кадра Земли).Попытки установить самый амбициозный предел интерферометров, а именно, для обнаружения ГВ с суперпозициями массой 10 ⁻¹⁷ кг, как обсуждается здесь, также подтолкнут пределы макроскопичности суперпозиций, определенные в [94], до μ ≈ 26 (где атомная и макромолекулярная интерферометрия достигли μ, ≈ 11 [95] и μ, ≈ 14,5 [96], соответственно, с фактическим экспериментом с котом Шредингера, соответствующим μ ≈ 57).