БочСтания ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ – ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ°. РазмСщСния, пСрСстановки, сочСтания | ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, которая ΠΌΠ½Π΅ нравится

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ°: основныС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.

ΠšΠžΠœΠ‘Π˜ΠΠΠ’ΠžΠ Π˜ΠšΠ

ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ° – Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° ΠΈ располоТСния элСмСнтов ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ основного мноТСства Π² соотвСтствии с Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈΒ  ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΡ‹Β  ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈΒ  ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡΒ  Π²Β  Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈΒ  вСроятностСй для подсчСта  вСроятности  случайных  событий ΠΈ,Β  соотвСтствСнно, получСния Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² распрСдСлСния случайных Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½. Π­Ρ‚ΠΎ,Β  Π²Β  свою  ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ,Β  позволяСт  ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΒ  закономСрности массовых случайных явлСний, Ρ‡Ρ‚ΠΎ являСтся вСсьма Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ для ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ понимания  статистичСских  закономСрностСй, ΠΏΡ€ΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Π² ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π΅ ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ΅.

Β 

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° слоТСния ΠΈ умноТСния Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ΅

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ суммы.Β  Если Π΄Π²Π° дСйствия А ΠΈ Π’ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ дСйствиС А ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ m способами, Π° Π’ – n способами, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ любоС ΠΈΠ· этих дСйствий (Π»ΠΈΠ±ΠΎ А, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π’) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ n + mΒ  способами.

Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1.

Π’ классС учится 16 ΠΌΠ°Π»ΡŒΡ‡ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ 10 Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ?

РСшСниС

Π”Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡŒΡ‡ΠΈΠΊΠ°, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Ρ‚.Π΅. Π΄Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ любой ΠΈΠ· 16 ΠΌΠ°Π»ΡŒΡ‡ΠΈΠΊΠΎΠ², Π»ΠΈΠ±ΠΎ любая ΠΈΠ· 10 Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

По ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ суммы ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 16+10=26 способами.

Β 

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния. Β ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ трСбуСтся Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ k дСйствий. Если ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ дСйствиС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ n1 способами, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ дСйствиС n2 способами, Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ – n3 способами ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄ΠΎ k-Π³ΠΎ дСйствия, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ nkΒ  способами, Ρ‚ΠΎ всС k дСйствий вмСстС ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Ρ‹:

способами.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2.

Π’ классС учится 16 ΠΌΠ°Π»ΡŒΡ‡ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ 10 Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½Ρ‹Ρ…?

РСшСниС

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ Π΄Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡŒΡ‡ΠΈΠΊΠ°, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Π’.ΠΊ. Π² классС учится 16 ΠΌΠ°Π»ΡŒΡ‡ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ 10 Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ 16+10=26 способами.

ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ 25 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ, Ρ‚.Π΅. 25-ю способами.

По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ умноТСния Π΄Π²ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Ρ‹ 26*25=650 способами.

 БочСтания Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ. БочСтания с повторСниями

Β ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ являСтся Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎ числС сочСтаний Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТаниС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ вопросом:

сколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ m ΠΈΠ· n Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ²?

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.

НСобходимо Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ΄Π°Ρ€ΠΎΠΊ 4 ΠΈΠ· 10 ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ½ΠΈΠ³. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ?

РСшСниС

Нам ΠΈΠ· 10 ΠΊΠ½ΠΈΠ³ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ 4, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ порядок Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ число сочСтаний ΠΈΠ· 10 элСмСнтов ΠΏΠΎ 4:

.

 Рассмотрим Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΎ числС сочСтаний с повторСниями: имССтся ΠΏΠΎ r ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· n Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²; сколькими способами

ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ m () ΠΈΠ· этих (n*r) ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ²?

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4.

Π’ кондитСрском ΠΌΠ°Π³Π°Π·ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°Π²Π°Π»ΠΈΡΡŒ 4 сорта ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ…: Π½Π°ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΎΠ½Ρ‹, эклСры, пСсочныС ΠΈ слоСныС. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ 7 ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ…?

РСшСниС

Π’.ΠΊ. срСди 7 ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ сорта, Ρ‚ΠΎ число способов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ 7 ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ…, опрСдСляСтся числом сочСтаний с повторСниями ΠΈΠ· 7 ΠΏΠΎ 4.

.

 РазмСщСния Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ. РазмСщСния с повторСниями

Β ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ являСтся Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎ числС Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТаниС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ вопросом:

сколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ m Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ мСстам m ΠΈΠ· n Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ²?

Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5.

Π’ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Π°Π·Π΅Ρ‚Π΅ 12 страниц. НСобходимо Π½Π° страницах этой Π³Π°Π·Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Π° страница Π³Π°Π·Π΅Ρ‚Ρ‹ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ?

РСшСниС.

Π’Β  Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉΒ  Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ просто Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ, Π° Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ… Π½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… страницах Π³Π°Π·Π΅Ρ‚Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ каТдая страница Π³Π°Π·Π΅Ρ‚Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌΒ  ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,Β  Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° сводится ΠΊ классичСской Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ ΠΎΠ± ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ числа Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· 12 элСмСнтов ΠΏΠΎ 4 элСмСнта:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 4 Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ Π½Π° 12 страницах ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ 11880 способами.

Β 

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ классичСской Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ являСтся Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎ числС Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ с повторСниями, содСрТаниС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ вопросом: сколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ m Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ мСстам m ΠΈΠ· n ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ², срСди ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅?

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6.

Π£ ΠΌΠ°Π»ΡŒΡ‡ΠΈΠΊΠ° ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ ΠΎΡ‚ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° для Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ³Ρ€Ρ‹ ΡˆΡ‚Π°ΠΌΠΏΡ‹ с Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°ΠΌΠΈ 1, 3 ΠΈ 7. Он Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ» с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ этих ΡˆΡ‚Π°ΠΌΠΏΠΎΠ² нанСсти Π½Π° всС ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ пятизначныС номСра– ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ‚Π°Π»ΠΎΠ³. Бколько Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… пятизначных Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Π»ΡŒΡ‡ΠΈΠΊ?

РСшСниС

МоТно  ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ,Β  Ρ‡Ρ‚ΠΎΒ  ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Β  состоит  Π² 5-ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π΅Β  с Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· 3 Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ (1, 3, 7). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,Β  число  пятизначных  Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²Β  опрСдСляСтся  числом  Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ с повторСниями ΠΈΠ· 3 элСмСнтов ΠΏΠΎ 5:

.

Β ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ с повторСниями

Β ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ являСтся Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎ числС пСрСстановок Π±Π΅Π· повторСния, содСрТаниС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ вопросом:

сколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ n Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π° n Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… мСстах?

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7.

Бколько ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… «слов» ΠΈΠ· Π±ΡƒΠΊΠ² слова«брак»?

РСшСниС

Π“Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉΒ  ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽΒ  ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ 4Β  Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ слова  Β«Π±Ρ€Π°ΠΊΒ» (Π±, Ρ€, Π°, ΠΊ). Число  «слов» опрСдСляСтся пСрСстановками этих 4 Π±ΡƒΠΊΠ², Ρ‚. Π΅.

Для случая, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° срСди Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… n элСмСнтов Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ (Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠ° с Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ), Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΎ числС пСрСстановок с повторСниями ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ вопросом: сколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ n ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ², располоТСнных Π½Π° n Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… мСстах, Ссли срСди n ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ k Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² (k < n), Ρ‚. Π΅. Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8.

Бколько Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… буквосочСтаний ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π±ΡƒΠΊΠ² слова «Миссисипи»?

РСшСниС

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ 1 Π±ΡƒΠΊΠ²Π°Β  Β«ΠΌΒ», 4 Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ Β«ΠΈΒ», 3 Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ Β«cΒ» ΠΈ 1 Π±ΡƒΠΊΠ²Π°Β  Β«ΠΏΒ», всСго 9 Π±ΡƒΠΊΠ². Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, число пСрСстановок с повторСниями Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ

ΠžΠŸΠžΠ ΠΠ«Π™ ΠšΠžΠΠ‘ΠŸΠ•ΠšΠ’ ПО РАЗДЕЛУ «ΠšΠžΠœΠ‘Π˜ΠΠΠ’ОРИКА»

ya-znau.ru

ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ°. РазмСщСния, пСрСстановки, сочСтания | ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, которая ΠΌΠ½Π΅ нравится

Π’ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ вопросы ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, сколько ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² (элСмСнтов).

Π ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ связано с Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π°ΠΌΠΈ Π‘. Паскаля ΠΈ П. Π€Π΅Ρ€ΠΌΠ° ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π°Π·Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ³Ρ€. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π² Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² внСсли Π“.Π’. Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†, Π―. Π‘Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»Π»ΠΈ ΠΈ Π›. Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€.

Ѐранцузский философ, ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ ΠΈ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊ Π‘Π»Π΅Π· Паскаль (1623–1662) Ρ€Π°Π½ΠΎ проявил свои Π²Ρ‹Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ матСматичСскиС способности. ΠšΡ€ΡƒΠ³ матСматичСских интСрСсов Паскаля Π±Ρ‹Π» вСсьма Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π΅Π½. Паскаль Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» ΠΎΠ΄Π½Ρƒ
ΠΈΠ· основных Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ (Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Паскаля), сконструировал ΡΡƒΠΌΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρƒ (Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Паскаля), Π΄Π°Π» способ вычислСния Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… коэффициСнтов (Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Паскаля), Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ» ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ» для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ, сдСлал сущСствСнный шаг Π² Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ…, сыграл Π²Π°ΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² Π·Π°Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вСроятности. Π’ гидростатикС Паскаль установил Π΅Π΅ основной Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ (Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Паскаля). β€œΠŸΠΈΡΡŒΠΌΠ° ΠΊ провинциалу” Паскаля явились ΡˆΠ΅Π΄Π΅Π²Ρ€ΠΎΠΌ французской классичСской ΠΏΡ€ΠΎΠ·Ρ‹.

Π“ΠΎΡ‚Ρ„Ρ€ΠΈΠ΄ Π’ΠΈΠ»ΡŒΠ³Π΅Π»ΡŒΠΌ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† (1646–1716) β€” Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠΉ философ, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊ ΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, ΡŽΡ€ΠΈΡΡ‚, историк, языковСд. Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ наряду с И. ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π» Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС. Π’Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ внСс Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΡƒ. Π‘ Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ, Π² частности, связаны Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΎ-числовыС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

Π“ΠΎΡ‚Ρ„Ρ€ΠΈΠ΄ Π’ΠΈΠ»ΡŒΠ³Π΅Π»ΡŒΠΌ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† ΠΈΠΌΠ΅Π» ΠΌΠ°Π»ΠΎ Π²Π½ΡƒΡˆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ поэтому ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠ» Π²ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ довольно Π½Π΅Π²Π·Ρ€Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°. ΠžΠ΄Π½Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ Π² ΠŸΠ°Ρ€ΠΈΠΆΠ΅ ΠΎΠ½ зашСл Π² ΠΊΠ½ΠΈΠΆΠ½ΡƒΡŽ Π»Π°Π²ΠΊΡƒ Π² Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠ΄Π΅ приобрСсти ΠΊΠ½ΠΈΠ³Ρƒ своСго Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΎ философа. На вопрос посСтитСля ΠΎΠ± этой ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΎΡ‚ΠΎΡ€Π³ΠΎΠ²Π΅Ρ†, осмотрСв Π΅Π³ΠΎ с Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Ρ‹ Π΄ΠΎ Π½ΠΎΠ³, насмСшливо бросил: β€œΠ—Π°Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½Π° Π²Π°ΠΌ? НСуТСли Π²Ρ‹ способны Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ?” НС успСл ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π»Π°Π²ΠΊΡƒ вошСл сам Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ со словами: β€œΠ’Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠΌΡƒ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Ρ‚ ΠΈ ΡƒΠ²Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅!” ΠŸΡ€ΠΎΠ΄Π°Π²Π΅Ρ† Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½ΠΈΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Ρ‹ΠΉ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†, ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ пользовались большим спросом срСди ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Ρ….

Π’ дальнСйшСм Π²Π°ΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠ³Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ

Π›Π΅ΠΌΠΌΠ°.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π² мноТСствС элСмСнтов, Π° Π² мноТСствС β€” элСмСнтов. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° число всСх Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€ , Π³Π΄Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ .

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ элСмСнтом ΠΈΠ· мноТСства ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€, Π° всСго Π² мноТСствС элСмСнтов.

РазмСщСния, пСрСстановки, сочСтания

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ мноТСство ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… элСмСнтов . Какими способами ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· этих элСмСнтов Π΄Π²Π°? .

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. РазмСщСниями мноТСства ΠΈΠ· Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов ΠΏΠΎ элСмСнтов Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ составлСны ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов ΠΏΠΎ > элСмСнтов ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ самими элСмСнтами, Π»ΠΈΠ±ΠΎ порядком элСмСнтов.

Число всСх Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ мноТСства ΠΈΠ· элСмСнтов ΠΏΠΎ элСмСнтов обозначаСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· (ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ французского слова β€œarrangement”, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅), Π³Π΄Π΅ ΠΈ .

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°. Число Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ мноТСства ΠΈΠ· элСмСнтов ΠΏΠΎ элСмСнтов Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ

Β  Β 

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ элСмСнты . ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ β€” Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ размСщСния. Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ эти размСщСния ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ β€” ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ элСмСнт размСщСния. Из Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ совокупности элСмСнтов Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами. ПослС Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта для Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта остаСтся способов Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° ΠΈ Ρ‚.Π΄. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ всС эти Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ свободно ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

Β  Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„Π»Π°Π³, состоящий ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… полос Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ², Ссли имССтся ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» пяти Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ²?

РСшСниС. ИскомоС число трСхполосных Ρ„Π»Π°Π³ΠΎΠ²:

Β  Β 

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ мноТСства ΠΈΠ· элСмСнтов называСтся располоТСниС элСмСнтов Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ порядкС.

Π’Π°ΠΊ, всС Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ пСрСстановки мноТСства ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… элСмСнтов β€” это

Β  Β 

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, пСрСстановки ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ частным случаСм Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ >.

Число всСх пСрСстановок ΠΈΠ· элСмСнтов обозначаСтся (ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ французского слова β€œpermutation”, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ β€œΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ°β€, β€œΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅β€). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, число всСх Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… пСрСстановок вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

Β  Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π»Π°Π΄Π΅ΠΉ Π½Π° ΡˆΠ°Ρ…ΠΌΠ°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ доскС Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Π±ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°?

РСшСниС. ИскомоС число расстановки Π»Π°Π΄Π΅ΠΉ

Β  Β 

ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ!

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. БочСтаниями ΠΈΠ· Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов ΠΏΠΎ элСмСнтов Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ составлСны ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов ΠΏΠΎ элСмСнтов ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ элСмСнтом (ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ говоря, -элСмСнтныС подмноТСства Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства ΠΈΠ· элСмСнтов).

Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Π² сочСтаниях Π² ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ учитываСтся порядок элСмСнтов. Число всСх сочСтаний ΠΈΠ· элСмСнтов ΠΏΠΎ элСмСнтов Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ обозначаСтся (ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ французского слова β€œcombinasion”, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ β€œΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΠ΅β€).

Числа

ВсС сочСтания ΠΈΠ· мноТСства ΠΏΠΎ Π΄Π²Π° β€” .

.

Бвойства чисСл {\sf C}_n^k

1. .

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ -элСмСнтному подмноТСству Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ -элСмСнтного мноТСства соотвСтствуСт ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ -элСмСнтноС подмноТСство Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ мноТСства.

2. .

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ подмноТСства ΠΈΠ· элСмСнтов ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: фиксируСм ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ элСмСнт; число -элСмСнтных подмноТСств, содСрТащих этот элСмСнт, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ; число -элСмСнтных подмноТСств, Π½Π΅ содСрТащих этот элСмСнт, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ .

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Паскаля

Π’ этом Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠ΅ числа Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ строкС Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1, Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π½Π΅ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅Π΅ число Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ суммС Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ строки, стоящих Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, этот Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ позволяСт Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ числа .

.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°.

Β  Β 

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Рассмотрим мноТСство ΠΈΠ· элСмСнтов ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ двумя способами ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ: сколько ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ ΠΈΠ· элСмСнтов Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ
мноТСства, Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ элСмСнт Π½Π΅ встрСчаСтся Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹?

1 способ. Π’Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ, Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ‚.Π΄. Ρ‡Π»Π΅Π½

Β  Β 

2 способ. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ сначала элСмСнтов ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ располоТим ΠΈΡ… Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ порядкС

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Π”ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ этой Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° :

Β  Β 

Β  Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π² ΠΈΠ³Ρ€Π΅ β€œΠ‘ΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π»ΠΎΡ‚ΠΎβ€ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ 5 Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΈΠ· 36?

ИскомоС число способов

Β  Β 

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

1. НомСра машин состоят ΠΈΠ· 3 Π±ΡƒΠΊΠ² русского Π°Π»Ρ„Π°Π²ΠΈΡ‚Π° (33 Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹) ΠΈ 4 Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. Бколько сущСствуСт Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½?
2. На роялС 88 клавиш. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ 6 Π·Π²ΡƒΠΊΠΎΠ²?
3. Бколько Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл, дСлящихся Π½Π° 5?
4. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ 7 Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠ°Ρ€ΠΌΠ°Π½Π°?
5. Бколько ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ пятизначных чисСл, Π² дСсятичной записи ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π· встрСчаСтся Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° 5?
6. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡΠ°Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ 20 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π·Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‹ΠΌ столом, считая способы ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ?
7. Бколько Π΅ΡΡ‚ΡŒ пятизначных чисСл, дСлящихся Π½Π° 5, Π² записи ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ†ΠΈΡ„Ρ€?
8. На ΠΊΠ»Π΅Ρ‚Ρ‡Π°Ρ‚ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Π΅ со стороной ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΊΠΈ 1 см нарисована ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ радиуса 100 см, Π½Π΅ проходящая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠΊ ΠΈ Π½Π΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ сторон ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠΊ. Бколько ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ эта ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ?
9. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ряд числа Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ числа стояли рядом ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ‚ΠΎΠΌ шли Π² порядкС возрастания?
10. Бколько пятизначных чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ , Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π·?
11. Из слова РОВ пСрСстановкой Π±ΡƒΠΊΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ слова: ВОР, ОРВ, ОВР, ВРО, РВО. Π˜Ρ… Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π°Π½Π°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°ΠΌΠΈ. Бколько Π°Π½Π°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· слова Π›ΠžΠ“ΠΠ Π˜Π€Πœ?
12. НазовСм Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа прСдставлСниС Π΅Π³ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π’ΠΎΡ‚, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, всС разбиСния числа :

Β  Β 

РазбиСния ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ числами, Π»ΠΈΠ±ΠΎ порядком слагаСмых.

Бколько сущСствуСт Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠΉ числа Π½Π° слагаСмых?
13. Бколько сущСствуСт Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Π·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл с Π½Π΅Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ порядком Ρ†ΠΈΡ„Ρ€?
14. Бколько сущСствуСт Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…Π·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл с Π½Π΅Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ порядком Ρ†ΠΈΡ„Ρ€?
15. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠ°Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ряд 17 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈ оказались рядом?
16. Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ ΠΌΠ°Π»ΡŒΡ‡ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ€Π°ΡΡΠ°ΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π² ряду ΠΈΠ· мСст. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡ… Ρ€Π°ΡΡΠ°Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π΄Π²Π΅ Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π΅ сидСли рядом?
17. Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ ΠΌΠ°Π»ΡŒΡ‡ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ€Π°ΡΡΠ°ΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π² ряду ΠΈΠ· мСст. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡ… Ρ€Π°ΡΡΠ°Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ всС Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ сидСли рядом?

hijos.ru

Бвойства сочСтаний.

1) (1.8)

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

2) (1.9)

ПокаТСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ правая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ (1.9) Ρ€Π°Π²Π½Π° Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части (1.9)

3) (1.10)

Π’ соотвСтствии с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. 10.

Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠ·ΠΎΡ€ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… солдат, Ссли Π½Π° заставС 20 солдат.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1.11.

Π’ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ„ΠΈΠ½Π°Π»Π΅ пСрвСнства страны ΠΏΠΎ ΡˆΠ°Ρ…ΠΌΠ°Ρ‚Π°ΠΌ ΡƒΡ‡Π°ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ 20 Ρ‡Π΅Π». Π’ Ρ„ΠΈΠ½Π°Π» выходят Ρ‚Ρ€ΠΎΠ΅. Найти число Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… исходов ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ„ΠΈΠ½Π°Π»Π° ΡˆΠ°Ρ…ΠΌΠ°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ пСрвСнства.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ нас Π½Π΅ интСрСсуСт порядок, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ располагаСтся пСрвая Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠ°. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ число исходов

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1.12.

Π’ Ρ‚ΡƒΡ€Π½ΠΈΡ€Π΅ ΡƒΡ‡Π°ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ 8 ΠΈΠ³Ρ€ΠΎΠΊΠΎΠ². Из Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ, Π·Π°Π½ΡΠ²ΡˆΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ мСста, формируСтся ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Π° для ΠΏΠΎΠ΅Π·Π΄ΠΊΠΈ Π½Π° сорСвнованиС. Каким количСством способов ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ сформирована ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Π°?

Вопрос сводится ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ: ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ количСством способов ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ ΠΈΠ· восьми? (порядок Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° Ρ€ΠΎΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚) По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ – это число сочСтаний ΠΈΠ· восьми ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈ:

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1.13.

Π’ ΠΌΠ°Π³Π°Π·ΠΈΠ½Π΅ 12 сортов ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ…. ΠŸΠΎΠΊΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ…ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚ ΠΊΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ…. Бколько Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ?

РСшСниС

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ способов Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° здСсь

.

Π’ послСднСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ поставлСно ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ – Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅. Если ΠΆΠ΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ количСство Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° возрастСт. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ количСство способов Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ· 12 сортов (количСство ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ сорта полагаСтся Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ), Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ввСсти Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ – сочСтаниС с повторСниями.

Рассмотрим Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ количСство ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… сортов. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ сорта Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ.

БочСтания с повторСниями

Π‘ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ с повторСниями ΠΈΠ· элСмСнтов поназываСтся Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠ° ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ количСства ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ²Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… сортов. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ элСмСнтом, Ρ‚.Π΅. порядок элСмСнтов Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ принимаСтся

Число Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° ΠΈΠ»ΠΈ количСство Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… сочСтаний ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ обозначаСтся ΠΈ вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

. (1.11)

КаТдоС сочСтаниС ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСляСтся , Ссли ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, сколько элСмСнтов ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² Π² Π½Π΅Π³ΠΎ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚. НазовСм ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ элСмСнта число ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта Π² сочСтании с повторСниями. НапримСр, Π² сочСтанииэлСмСнтимССт ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, элСмСнтимССт ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, элСмСнтимССт ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, элСмСнтимССт ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° всСх кратностСй Ρ€Π°Π²Π½Π° порядку сочСтания, Ρ‚.Π΅.. ΠŸΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΡŽ Π² соотвСтствиС ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ: напишСм подряд ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, сколько элСмСнтов ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Π² Π½Π΅Π³ΠΎ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŒ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ напишСм ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, сколько элСмСнтов Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Π² Π½Π΅Π³ΠΎ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŒ ΠΈ Ρ‚.Π΄. НапримСр, ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΡŽ с повторСниямисоотвСтствуСт ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 11101101011. Если Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ элСмСнт Π½Π΅ содСрТится Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ сочСтании с повторСниями, Ρ‚.Π΅. Π΅Π³ΠΎ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π½Π΅ ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΈ Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ появится 0 ΠΏΠΎ мСньшСй ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π°. Π’ элСмСнтах ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈΠ· Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… сочСтаниям с повторСниями изэлСмСнтов ΠΏΠΎΡ†ΠΈΡ„Ρ€Π° 1 встрСчаСтсяраз, Π° Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° 0 встрСчаСтсяраз. Для сочСтаниясоотвСтствСнно 8 ΠΈ 3. ВсСвозмоТныС сочСтания с повторСниями получатся, Ссли ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅Ρ€Π³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ пСрСстановкС Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.

ΠšΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΡŽ с повторСниями ΠΈΠ· элСмСнтов посоотвСтствуСт ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† ΠΈΠ½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, число сочСтаний с повторСниями изэлСмСнтов ΠΏΠΎΡ€Π°Π²Π½ΠΎ числу ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ ΠΈΠ·Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† ΠΈΠ½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ число опрСдСляСтся числом пСрСстановок с повторСниями

, Ρ‚.Π΅. .

НапримСр, сочСтания ΠΈΠ· 4-Ρ… элСмСнтов ΠΏΠΎ 2 с повторСниями Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚. Им ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈΠ· Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1.14.

Π’ ΠΌΠ°Π³Π°Π·ΠΈΠ½Π΅ 12 сортов ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ…. ΠŸΠΎΠΊΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ…ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚ ΠΊΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ…, Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ…. Бколько Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ?

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ производится Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ количСства ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² 12-Ρ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… сортов.

,

Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ…, Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ…, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ 12376 способами.

studfiles.net

БочСтания.

1) БочСтания Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3: БочСтания ΠΈΠ· элСмСнтов поэлСмСнтов () – это расстановки, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ другасоставом, Π½ΠΎ Π½Π΅ порядком элСмСнтов. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚: .

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 4: Число сочСтаний находится ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ: .

БлСдствиС: ВывСдСнная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° совпадаСт с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ для числа ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· элСмСнтов ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° иэлСмСнтов Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°:

.

Π˜Π½Ρ‹ΠΌΠΈ словами справСдливо равСнство: .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹: Π’Ρ‹Π±ΠΎΡ€ Π΄Π΅Π»Π΅Π³Π°Ρ†ΠΈΠΈ, число ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π΅Ρ€ΠΎΠ² Π² сорСвновании ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: , .

БущСствСнноС ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ числа сочСтаний ΠΎΡ‚ числа ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½ состав ΠΈ порядок элСмСнтов Π² подмноТСствах, Π° для сочСтаний Π²Π°ΠΆΠ΅Π½ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ состав.

2) БочСтания с повторСниями.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ имССтся ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ². Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…, Ссли Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ порядок элСмСнтов? Π­Ρ‚Ρƒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ с ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°: Π’ кондитСрском ΠΌΠ°Π³Π°Π·ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ 4 сортов: Π½Π°ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΎΠ½, эклСры, пСсочныС ΠΈ слоСныС. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ 7 ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ…?

Π—Π°ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠΊΡƒΠΏΠΊΡƒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†. НапишСм ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, сколько ΠΊΡƒΠΏΠ»Π΅Π½ΠΎ Π½Π°ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΎΠ½ΠΎΠ², Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ пишСм 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΈΡ€ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚.Π΄. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΊΡƒΠΏΠΊΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· сСми Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ порядкС. Число всСх Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΠΎΠΊΡƒΠΏΠΎΠΊ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ:

.

Для числа сочСтаний с повторСниями сущСствуСт Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°:

.

Β§2. Бвойства сочСтаний. Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°.

Одной ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ распространённых ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» являСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° числа сочСтаний. Для упрощСния подсчётов ΠΈ для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ свойства сочСтаний:

1. .

2. .

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ:

1) .

2) .

БочСтания ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π² школьном курсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. НапримСр, Π² качСствС коэффициСнтов Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° Π²Ρ‹ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°ΡŽΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ сочСтания. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΈ Π΅Ρ‘ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ приводятся Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1: .

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ: ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΏΠΎ .

ΠŸΡ€ΠΈ :.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Π΅Ρ€Π½Π°, для случая, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° . Π’ этом случаС ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ равСнство Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ:

.

ПокаТСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° выполняСтся для — ΠΉ стСпСни:

.

Π’ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ свойство: .

БлСдствиС: Рассмотрим Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ частныС случаи Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°:

1) Ссли , Ρ‚ΠΎ.

2) Ссли , Ρ‚ΠΎ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1: ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами.

ЧисловыС значСния Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… коэффициСнтов Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ числа сочСтаний: . Π“ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ значСния этих коэффициСнтов Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΊΠ°Ρ…Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Паскаля.

1 n = 0

1 1 n = 1

1 2 1 n = 2

1 3 3 1 n = 3

1 4 6 4 1 n = 4

1 5 10 10 5 1 n = 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Паскаля строится ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стороны состоят ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†. Числа, находящиСся Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ суммой Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΎΡΡ‰ΠΈΡ… чисСл. КаТдая строка Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° соотвСтствуСт Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни для суммы ΠΈ содСрТит ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ коэффициСнты. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ суммы, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Паскаля Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ строку, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ стСпСни. Π­Ρ‚Π° строка Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹Π΅ коэффициСнты, ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ выраТСния. МоТно Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ строки Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Паскаля симмСтричны, поэтому достаточно Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… коэффициСнтов ΠΈ, Ссли Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ, срСдний элСмСнт.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° примСняСтся, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ возвСсти Π² Ρ†Π΅Π»ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ сумму Π΄Π²ΡƒΡ… слагаСмых. Если ΠΆΠ΅ это трСбуСтся произвСсти для суммы Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слагаСмых, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ строится ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°. Она прСдставляСт собой сумму слагаСмых, состоящих ΠΈΠ· коэффициСнта ΠΈ Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ части. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° этих слагаСмых бСрСтся ΠΏΠΎ всСвозмоТным разбиСниям числанацСлых Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… слагаСмых, ΠΏΡ€ΠΈ этом коэффициСнт находится ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ числа пСрСстановок с повторСниями:

.

Если числа ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ пСрСстановкой ΠΈΠ· чисСл, Ρ‚ΠΎ считаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ВозвСсти Π² ΠΏΡΡ‚ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ сумму Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… слагаСмых.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ учитываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 5 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 3 слагаСмых ΠΏΡΡ‚ΡŒΡŽ способами:

;;;;.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ разбиСния извСстны числа ,. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, всС коэффициСнты ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ случая Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ коэффициСнты: ,,,,. БуквСнная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ формируСтся Π² связи с разлоТСниями числа 5 Π½Π° 3 слагаСмых. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, получаСтся Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… коэффициСнтов ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

.

Для коэффициСнтов ΠΈΠ· рассмотрСнного ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ:

,

.

Рассмотрим — сочСтания с повторСниями, составлСнныС ΠΈΠ· элСмСнтовтипа, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΈΠ·Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹. Число Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… сочСтаний Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ:. Π Π°Π·ΠΎΠ±ΡŒΡ‘ΠΌ всС эти сочСтания Π½Π° классы, отнСся к‑ ΠΌΡƒ классу сочСтания, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…Ρ€Π°Π· Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°. ΠžΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ заняты ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠΌΠΈΡΡ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ, число ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π²— ΠΉ класс Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ сочСтаний, сколько ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΠΉ с повторСниями ΠΈΠ· элСмСнтовтипов, Ρ‚.Π΅..

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ число всСх Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… сочСтаний Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ:

, Ρ‚.Π΅.

.

МСняя Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΈΠ½Π°ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ равСнство, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами:

.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ числу слагаСмых Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ эту Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для подсчёта суммы чисСл Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ряда ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ (ΠΏΡ€ΠΈ), суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл (ΠΏΡ€ΠΈ), сумму ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² (ΠΏΡ€ΠΈ).

Если , Ρ‚ΠΎ искомая Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

.

Для ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

,

ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ:

.

Для ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

,

ΠΈΠ»ΠΈ послС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ:

.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для сумм Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоких стСпСнСй Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

studfiles.net

35 Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ-пСрСстановки,размСщСния, сочСтания

Π’ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ вопросы ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, сколько ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² (элСмСнтов).

Π ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π° матСматикисвязано с Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π°ΠΌΠΈ Π‘. Паскаля ΠΈ П. Π€Π΅Ρ€ΠΌΠ° ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π°Π·Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ³Ρ€. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π² Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² внСсли Π“.Π’. Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†, Π―. Π‘Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»Π»ΠΈ ΠΈ Π›. Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€.

Ѐранцузский философ, ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ ΠΈ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊ Π‘Π»Π΅Π· Паскаль (1623–1662) Ρ€Π°Π½ΠΎ проявил свои Π²Ρ‹Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ матСматичСскиС способности. ΠšΡ€ΡƒΠ³ матСматичСских интСрСсов Паскаля Π±Ρ‹Π» вСсьма Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π΅Π½. Паскаль Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· основных Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ (Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Паскаля), сконструировал ΡΡƒΠΌΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρƒ (Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Паскаля), Π΄Π°Π» способ вычислСния Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… коэффициСнтов (Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Паскаля), Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ» ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ» для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ, сдСлал сущСствСнный шаг Π² Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ…, сыграл Π²Π°ΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² Π·Π°Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вСроятности. Π’ гидростатикС Паскаль установил Π΅Π΅ основной Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ (Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Паскаля). β€œΠŸΠΈΡΡŒΠΌΠ° ΠΊ провинциалу” Паскаля явились ΡˆΠ΅Π΄Π΅Π²Ρ€ΠΎΠΌ французской классичСской ΠΏΡ€ΠΎΠ·Ρ‹.

Π“ΠΎΡ‚Ρ„Ρ€ΠΈΠ΄ Π’ΠΈΠ»ΡŒΠ³Π΅Π»ΡŒΠΌ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† (1646–1716) β€” Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠΉ философ, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊ ΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, ΡŽΡ€ΠΈΡΡ‚, историк, языковСд. Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ наряду с И. ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π» Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС. Π’Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ внСс Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΡƒ. Π‘ Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ, Π² частности, связаны Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΎ-числовыС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

Π“ΠΎΡ‚Ρ„Ρ€ΠΈΠ΄ Π’ΠΈΠ»ΡŒΠ³Π΅Π»ΡŒΠΌ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† ΠΈΠΌΠ΅Π» ΠΌΠ°Π»ΠΎ Π²Π½ΡƒΡˆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ поэтому ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠ» Π²ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ довольно Π½Π΅Π²Π·Ρ€Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°. ΠžΠ΄Π½Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ Π² ΠŸΠ°Ρ€ΠΈΠΆΠ΅ ΠΎΠ½ зашСл Π² ΠΊΠ½ΠΈΠΆΠ½ΡƒΡŽ Π»Π°Π²ΠΊΡƒ Π² Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠ΄Π΅ приобрСсти ΠΊΠ½ΠΈΠ³Ρƒ своСго Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΎ философа. На вопрос посСтитСля ΠΎΠ± этой ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΎΡ‚ΠΎΡ€Π³ΠΎΠ²Π΅Ρ†, осмотрСв Π΅Π³ΠΎ с Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Ρ‹ Π΄ΠΎ Π½ΠΎΠ³, насмСшливо бросил: β€œΠ—Π°Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½Π° Π²Π°ΠΌ? НСуТСли Π²Ρ‹ способны Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ?” НС успСл ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π»Π°Π²ΠΊΡƒ вошСл сам Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ со словами: β€œΠ’Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠΌΡƒ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Ρ‚ ΠΈ ΡƒΠ²Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅!” ΠŸΡ€ΠΎΠ΄Π°Π²Π΅Ρ† Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½ΠΈΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Ρ‹ΠΉ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†, ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ пользовались большим спросом срСди ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Ρ….

Π’ дальнСйшСм Π²Π°ΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠ³Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ

Π›Π΅ΠΌΠΌΠ°. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π² мноТСствС элСмСнтов, Π° Π² мноТСствС—элСмСнтов. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° число всСх Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€, Π³Π΄Π΅Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ элСмСнтом ΠΈΠ· мноТСства ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€, Π° всСго Π² мноТСствСэлСмСнтов.

РазмСщСния, пСрСстановки, сочСтания

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ мноТСство ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… элСмСнтов . Какими способами ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· этих элСмСнтов Π΄Π²Π°?.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. РазмСщСниями мноТСства ΠΈΠ· Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ²Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ составлСны ΠΈΠ· данныхэлСмСнтов поэлСмСнтов ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ самими элСмСнтами, Π»ΠΈΠ±ΠΎ порядком элСмСнтов.

Число всСх Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ мноТСства ΠΈΠ· элСмСнтов поэлСмСнтов обозначаСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·(ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ французского слова β€œarrangement”, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅), Π³Π΄Π΅ΠΈ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°. Число Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ мноТСства ΠΈΠ· элСмСнтов поэлСмСнтов Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ элСмСнты . ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒβ€” Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ размСщСния. Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ эти размСщСния ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌβ€” ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ элСмСнт размСщСния. Из Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ совокупностиэлСмСнтов Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами. ПослС Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнтадля Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнтаостаСтсяспособов Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° ΠΈ Ρ‚.Π΄. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ всС эти Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ свободно ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„Π»Π°Π³, состоящий ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… полос Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ², Ссли имССтся ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» пяти Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ²?

РСшСниС. ИскомоС число трСхполосных Ρ„Π»Π°Π³ΠΎΠ²:

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ мноТСства ΠΈΠ· элСмСнтов называСтся располоТСниС элСмСнтов Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ порядкС.

Π’Π°ΠΊ, всС Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ пСрСстановки мноТСства ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… элСмСнтов β€” это

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, пСрСстановки ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ частным случаСм Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ .

Число всСх пСрСстановок ΠΈΠ· элСмСнтов обозначаСтся(ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ французского слова β€œpermutation”, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ β€œΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ°β€, β€œΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅β€). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, число всСх Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… пСрСстановок вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Бколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ 8 Π»Π°Π΄Π΅ΠΉ Π½Π° ΡˆΠ°Ρ…ΠΌΠ°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ доскС Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Π±ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°?

РСшСниС. ИскомоС число расстановки 8 Π»Π°Π΄Π΅ΠΉ

ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ!

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. БочСтаниями ΠΈΠ· Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов поэлСмСнтов Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ составлСны ΠΈΠ· данныхэлСмСнтов поэлСмСнтов ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ элСмСнтом (ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ говоря,-элСмСнтныС подмноТСства Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства изэлСмСнтов).

Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Π² сочСтаниях Π² ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ учитываСтся порядок элСмСнтов. Число всСх сочСтаний ΠΈΠ· элСмСнтов поэлСмСнтов Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ обозначаСтся(ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ французского слова β€œcombinasion”, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ β€œΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΠ΅β€).

Числа

ВсС сочСтания ΠΈΠ· мноТСства ΠΏΠΎ Π΄Π²Π° β€”.

.

studfiles.net

Π‘ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ β€” ВикипСдия

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΈΠ· Π’ΠΈΠΊΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΈΠΈ β€” свободной энциклопСдии

Π’ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ΅ сочСтаниСм ΠΈΠ· n{\displaystyle n} ΠΏΠΎ k{\displaystyle k} называСтся Π½Π°Π±ΠΎΡ€ k{\displaystyle k} элСмСнтов, Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства, содСрТащСго n{\displaystyle n} Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов.

Наборы, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ порядком слСдования элСмСнтов (Π½ΠΎ Π½Π΅ составом), ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ, этим сочСтания ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π½Π°Π±ΠΎΡ€Ρ‹ (3-элСмСнтныС сочСтания, подмноТСства, k=3{\displaystyle k=3}) {2, 1, 3} ΠΈ {3, 2, 1} 6-элСмСнтного мноТСства {1, 2, 3, 4, 5, 6} (n=6{\displaystyle n=6}) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ (Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ размСщСния Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ) ΠΈ состоят ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΈΡ… ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ элСмСнтов {1,2,3}.

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС число, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅, сколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ k{\displaystyle k} элСмСнтов ΠΈΠ· мноТСства, содСрТащСго n{\displaystyle n} Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов, стоит Π½Π° пСрСсСчСнии k{\displaystyle k}

ru.wikipedia.org

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ. ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ°: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° пСрСстановки, размСщСния

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ± особом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ°. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ – всС это Π²Ρ‹ смоТСтС Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ здСсь, ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π² ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ самого ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ это Π·Π° Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»? ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ° занимаСтся вопросом подсчСта ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ². Но Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ Π²Ρ‹ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°ΡŽΡ‚ Π½Π΅ сливы, Π³Ρ€ΡƒΡˆΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ яблоки, Π° Π½Π΅Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ΅. ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ события. НапримСр, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ³Ρ€Π΅ Π² ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Ρ‹ – ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΈΠΊΠ° Π΅ΡΡ‚ΡŒ козырная ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π°? Или Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ – ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· мСшка с Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒΡŽ ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π²Ρ‹ достанСтС ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π±Π΅Π»Ρ‹ΠΉ? ИмСнно для ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π°ΠΌ ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ хотя Π±Ρ‹ основы Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Рассматривая вопрос основных понятий ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π΅ ΡƒΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ конфигурациям. Они ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, Π½ΠΎ ΠΈ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ слуТат:

  • Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅;
  • пСрСстановка;
  • сочСтаниС;
  • композиция числа;
  • Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅ числа.

О ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π΄Π°Π»Π΅Π΅, Π° Π²ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅. Когда говорят ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ³ΠΎ числа (допустим, Π°), Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°ΡŽΡ‚ прСдставлСниС числа Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ упорядочСнной суммы Π½Π΅ΠΊΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. А Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅ – это нСупорядочСнная сумма.

Π Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρ‹

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ нСпосрСдствСнно ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, стоит ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ свои ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρ‹. К Π½ΠΈΠΌ относятся:

  • ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ;
  • структурная;
  • ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ;
  • тСория РамсСя;
  • вСроятностная;
  • топологичСская;
  • инфинитарная.

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ случаС Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ± ΠΈΡΡ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ΅, Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ пСрСчислСниС ΠΈΠ»ΠΈ подсчСт Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ½Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ элСмСнтами мноТСств. На Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ мноТСства, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ограничСния (Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½Π΅Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅). А количСство этих ΠΊΠΎΠ½Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ подсчитываСтся ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° слоТСния ΠΈΠ»ΠΈ умноТСния, ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅. К структурной ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ΅ относятся Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ² ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠ΄ΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ – ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° наибольшая Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ удовлСтворяСт ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ свойствам… Π’ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅ ΠΌΡ‹ упомянули Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ РамсСя, которая ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² случайных конфигурациях Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ рСгулярных структур. ВСроятностная ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ° способна Π½Π°ΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° вопрос – ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства присутствуСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ свойство. Как Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠ³Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, топологичСская ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ° примСняСт ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Π² Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ. И, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, сСдьмой ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ – инфинитарная ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ ΠΊ бСсконСчным мноТСствам.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ слоТСния

Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈ довольно простыС, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΡ‹ достаточно Π΄Π°Π²Π½ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ являСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ суммы. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° дСйствия (Π‘ ΠΈ Π•), Ссли ΠΎΠ½ΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹, дСйствиС Π‘ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌΠΎ нСсколькими способами (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π°), Π° дСйствиС Π• Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌΠΎ b-способами, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ любоС ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… (Π‘ ΠΈΠ»ΠΈ Π•) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π°+b способами.

Π’ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ это ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ достаточно Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ, постараСмся донСсти всю ΡΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π° простом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ класса — допустим, это Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡΡ‚ΡŒ. Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ Π½ΠΈΡ… ΠΏΡΡ‚Π½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Π»ΡŒΡ‡ΠΈΠΊΠΎΠ². Π•ΠΆΠ΅Π΄Π½Π΅Π²Π½ΠΎ Π² классС назначаСтся ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π΄Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½Ρ‹ΠΉ. Бколько Π΅ΡΡ‚ΡŒ способов Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎ классу сСгодня? РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ достаточно простоС, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π½Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ слоТСния. Π’ тСкстС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π΅ сказано, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡŒΡ‡ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ любая ΠΈΠ· пятнадцати Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ любой ΠΈΠ· дСсяти ΠΌΠ°Π»ΡŒΡ‡ΠΈΠΊΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ суммы, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ достаточно простой ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π±Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π° справится школьник Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… классов: 15 + 10. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π², ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡΡ‚ΡŒ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ сущСствуСт всСго Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡΡ‚ΡŒ способов Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° сСгодня Π΄Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ класса.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ умноТСния

К основным Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ относится ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ умноТСния. НачнСм с Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ. Допустим, Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ нСсколько дСйствий (Π°): ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ дСйствиС выполняСтся с1 способами, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ – с2 способами, Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ – с3 способами ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ Π΄ΠΎ послСднСго Π°-дСйствия, выполняСмого са способами. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° всС эти дСйствия (ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… всСго Ρƒ нас Π°) ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Ρ‹ N способами. Как Π²Ρ‹ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ N? Π’ этом Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°: N = с1 * с2 * с3 *…* са.

ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ понятно, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ простого ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° умноТСния. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ всС Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ класс ΠΈΠ· Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΠΈ пяти Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ учится ΠΏΡΡ‚Π½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Π»ΡŒΡ‡ΠΈΠΊΠΎΠ². Волько Π½Π° этот Ρ€Π°Π· Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½Ρ‹Ρ…. Ими ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡŒΡ‡ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΌΠ°Π»ΡŒΡ‡ΠΈΠΊ с Π΄Π΅Π²ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ элСмСнтарному Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. Π’Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΎΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅, Ρƒ нас получаСтся Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ². Π’Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π΄Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ любой ΠΈΠ· ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ. Π£ нас Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π»ΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π΄Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ любой ΠΈΠ· ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ. НаконСц, примСняСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ умноТСния ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²ΠΎΠΈΡ… Π΄Π΅ΠΆΡƒΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒΡŽ сотнями способов. ΠœΡ‹ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ число ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΠΈ пяти ΠΈ Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ….

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ°

БСйчас ΠΌΡ‹ рассмотрим Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎ пСрСстановках. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ сразу ΠΆΠ΅ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Π±ΠΈΠ»ΡŒΡΡ€Π΄Π½Ρ‹Π΅ ΡˆΠ°Ρ€Ρ‹ Ρƒ нас ΠΈΡ… n-ΠΎΠ΅ количСство. Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ: сколько Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Ρ€Π°ΡΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² ряд, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ упорядочСнный Π½Π°Π±ΠΎΡ€.

НачнСм, Ссли Ρƒ нас Π½Π΅Ρ‚ ΡˆΠ°Ρ€ΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² расстановки Ρƒ нас Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ноль. А Ссли Ρƒ нас ΡˆΠ°Ρ€ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½, Ρ‚ΠΎ ΠΈ расстановка Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Π° (матСматичСски это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: Π 1 = 1). Π”Π²Π° ΡˆΠ°Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ двумя Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами: 1,2 ΠΈ 2,1. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π 2 = 2. Π’Ρ€ΠΈ ΡˆΠ°Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠΆΠ΅ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒΡŽ способами (Π 3=6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2. А Ссли Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΡˆΠ°Ρ€ΠΎΠ² Π½Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ, Π° Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΡ‚Π½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ? ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΌ Π½Π° ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ°. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° пСрСстановки ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ нас вопрос. Pn = n *P (n-1). Если ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ: Pn = n* (n — 1) *…* 2 * 1. А это ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ число называСтся Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ, Π° обозначаСтся ΠΊΠ°ΠΊ n!

Рассмотрим Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ. Π’ΠΎΠΆΠ°Ρ‚Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Ρ€ΠΎ выстраиваСт свой отряд Π² ΡˆΠ΅Ρ€Π΅Π½Π³Ρƒ (Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ). Π’ отрядС Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° – ΠšΠΎΡΡ‚Ρ, Баша ΠΈ Π›Π΅ΡˆΠ°. Какова Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ рядом? Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° вопрос, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Β«Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅Π³ΠΎΒ» исхода ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство исходов. ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ число пСрСстановок составляСт 20! = 2,5 ΠΊΠ²ΠΈΠ½Ρ‚ΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½Π°. Как ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ количСство Β«Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΡ…Β» исходов? ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠšΠΎΡΡ‚Ρ, Баши ΠΈ Π›Π΅ΡˆΠ° – это ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ свСрхчСловСк. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ всСго Π²ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡƒΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ². Число пСрСстановок Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС равняСтся 18 = 6,5 ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€ΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΈ всСм этом, ΠšΠΎΡΡ‚Ρ, Баша ΠΈ Π›Π΅ΡˆΠ° ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой Π² своСй Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠ΅, Π° это Π΅Ρ‰Π΅ 3! = 6 Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ². Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ всСго Β«Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΡ…Β» расстановок Ρƒ нас 18! * 3! Нам остаСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡƒΡŽ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: (18! * 3!) / 20! Π§Ρ‚ΠΎ равняСтся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ 0,016. Если пСрСвСсти Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Ρ‹, Ρ‚ΠΎ это получаСтся всСго 1,6%.

Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅

БСйчас ΠΌΡ‹ рассмотрим Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ. Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ – это наш ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ вопрос, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ Π²Π°ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ. ΠœΡ‹ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π° услоТнСниС. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ пСрСстановки, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠ· всСго мноТСства (n), Π° ΠΈΠ· мСньшСго (m). Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΡ‹ рассматриваСм пСрСстановки ΠΈΠ· n ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎ m.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ стоит Π½Π΅ просто Π·Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Π° ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ…. Π”Π°ΠΆΠ΅ нСсмотря Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΡƒΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ нас Π½Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€, Π° Π΄Π²Π°. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ m = 1, Ρ‚ΠΎ ΠΈ А = 1, m = 2, Ρ‚ΠΎ А = n * (n — 1). Если Π΄Π°Π»Π΅Π΅ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π° запись ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ получится Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ лаконичная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°: А = n! / (n — m)!

Π‘ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΠ΅

ΠœΡ‹ рассмотрСли практичСски всС основныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ этапу рассмотрСния Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ курса ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ – знакомство с сочСтаниСм. БСйчас ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ m ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ· ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Ρƒ нас n, ΠΏΡ€ΠΈ этом всСм ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ всСми Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ способами. Π§Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° это отличаСтся ΠΎΡ‚ размСщСния? ΠœΡ‹ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ порядок. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ нСупорядочСнный Π½Π°Π±ΠΎΡ€ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ сочСтаниСм.

Π‘Ρ€Π°Π·Ρƒ Π²Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π‘. Π‘Π΅Ρ€Π΅ΠΌ размСщСния m ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈΠ· n. ΠœΡ‹ пСрСстаСм ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° порядок ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ сочСтания. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ число сочСтаний Π½Π°ΠΌ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ число Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° m! (m Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π»). Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π‘ = А / m! Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, способов Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· n ΡˆΠ°Ρ€ΠΎΠ² Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΊΠΎ, равняСтся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ, сколько Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ всС. Π­Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ логичСскоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΊΠΎ всС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ΠΊΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ всС. Π•Ρ‰Π΅ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ максимальноС число сочСтаний ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠ΅ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ².

Как Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ?

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ рассмотрСли основныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ: Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, пСрСстановка ΠΈ сочСтаниС. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ наша Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° – ΠΎΠ±Π»Π΅Π³Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ΅. МоТно Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ довольно простой схСмой:

  1. Π—Π°Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ сСбС вопрос: порядок размСщСния элСмСнтов учитываСтся Π² тСкстС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ?
  2. Если ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π΅Ρ‚, Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ сочСтания (Π‘ = n! / (m! * (n — m)!)).
  3. Если ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π΅Ρ‚, Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ вопрос: всС Π»ΠΈ элСмСнты входят Π² ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡŽ?
  4. Если ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π΄Π°, Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ пСрСстановки (Π  = n!).
  5. Если ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π΅Ρ‚, Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ размСщСния (А = n! / (n — m)!).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ΠœΡ‹ рассмотрСли элСмСнты ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ вопросы. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π²Π°ΠΌΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΊΠΈΠ²ΠΈ, апСльсин ΠΈ Π±Π°Π½Π°Π½.

Вопрос ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ: сколькими способами ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ? Для этого Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ пСрСстановок: Π  = 3! = 6 способов.

Вопрос Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ: сколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ„Ρ€ΡƒΠΊΡ‚? Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρƒ нас всСго Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° – Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΈΠ²ΠΈ, апСльсин ΠΈΠ»ΠΈ Π±Π°Π½Π°Π½, Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ сочСтаний: Π‘ = 3! / (2! * 1!) = 3.

Вопрос Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ: сколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Ρ„Ρ€ΡƒΠΊΡ‚Π°? КакиС Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρƒ нас Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹? Киви ΠΈ апСльсин; ΠΊΠΈΠ²ΠΈ ΠΈ Π±Π°Π½Π°Π½; апСльсин ΠΈ Π±Π°Π½Π°Π½. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°, Π½ΠΎ это Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сочСтания: Π‘ = 3! / (1! * 2!) = 3

Вопрос Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹ΠΉ: сколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ„Ρ€ΡƒΠΊΡ‚Π°? Как Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ„Ρ€ΡƒΠΊΡ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ-СдинствСнным способом: Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΈΠ²ΠΈ, апСльсин ΠΈ Π±Π°Π½Π°Π½. Π‘ = 3! / (0! * 3!) = 1.

Вопрос пятый: сколькими способами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ„Ρ€ΡƒΠΊΡ‚? Π­Ρ‚ΠΎ условиС ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½, Π΄Π²Π° ΠΈΠ»ΠΈ всС Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ„Ρ€ΡƒΠΊΡ‚Π°. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ складываСм Π‘1 + Π‘2 + Π‘3 =3 + 3 + 1 = 7. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ сСмь способов Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ со стола хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ„Ρ€ΡƒΠΊΡ‚.

fb.ru

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *

АвторскоС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ © 2024 Es picture - ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠΈ
top